Zerfallsgesetz

Was ist das Zerfallsgesetz?

Radioaktive Kerne zerfallen statistisch — jeder Kern hat in jedem Zeitintervall die gleiche kleine Wahrscheinlichkeit, zu zerfallen. Daraus folgt eine exponentielle Abnahme der Anzahl noch vorhandener Kerne:

N(t) = N₀ · e^(−λ · t)

Dabei ist λ die Zerfallskonstante (Zerfallswahrscheinlichkeit pro Sekunde) und N₀ die Anzahl Kerne zu Beginn.

Die Formel

N(t) = N₀ · e^(−λ · t)

Umstellungen:
    N₀ = N(t) · e^(λ · t)
    t  = −ln(N(t) / N₀) / λ
    λ  = −ln(N(t) / N₀) / t

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Eine Probe enthält N₀ = 10¹² Atome eines Isotops mit λ = 2,3 · 10⁻⁹ 1/s. Wie viele Kerne sind nach einem Jahr (≈ 3,156 · 10⁷ s) übrig?

λ · t = 2,3·10⁻⁹ · 3,156·10⁷ ≈ 0,0726
N(t)  = 10¹² · e^(−0,0726) ≈ 9,30 · 10¹¹

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — C-14-Datierung eines Holzfunds

Ein Holzstück enthält noch 25 % des ursprünglichen C-14-Gehalts. λ(C-14) ≈ 3,836 · 10⁻¹² 1/s (t½ ≈ 5730 a).

N(t)/N₀ = 0,25
t = −ln(0,25) / λ
  = 1,3863 / 3,836·10⁻¹²
  ≈ 3,614·10¹¹ s
  ≈ 11.460 Jahre

Beispiel 2 — Jod-131 in der Nuklearmedizin

I-131 hat eine Halbwertszeit von 8,02 Tagen, also λ ≈ 1,00 · 10⁻⁶ 1/s. Wieviel Aktivität bleibt nach 30 Tagen (2,592 · 10⁶ s)?

λ · t = 1,00·10⁻⁶ · 2,592·10⁶ ≈ 2,592
N(t)/N₀ = e^(−2,592) ≈ 0,0749
≈ 7,5 % der Anfangsmenge.

Beispiel 3 — Reaktorbrennstab nach Abschaltung

Ein kurzlebiges Spaltprodukt mit λ = 0,01 1/s startet mit N₀ = 10¹⁵ Kernen. Wie viele bleiben nach 5 Minuten (300 s)?

λ · t = 0,01 · 300 = 3
N(t) = 10¹⁵ · e^(−3) ≈ 4,98 · 10¹³
≈ 5,0 % der ursprünglichen Kerne.

Beispiel 4 — Tritium-Leuchtfarbe nach 25 Jahren

Tritium hat λ ≈ 1,782 · 10⁻⁹ 1/s (t½ ≈ 12,32 a). Wieviel Leuchtkraft (proportional zur Kernzahl) bleibt nach 25 Jahren (7,889 · 10⁸ s)?

λ · t = 1,782·10⁻⁹ · 7,889·10⁸ ≈ 1,406
N(t)/N₀ = e^(−1,406) ≈ 0,245
≈ 24,5 % der ursprünglichen Leuchtkraft.

Beispiel 5 — Cäsium-137 nach Tschernobyl

Cs-137 hat eine Halbwertszeit von 30,17 a (λ ≈ 7,28 · 10⁻¹⁰ 1/s). Wie groß ist der Restanteil 40 Jahre nach 1986, also 2026 (≈ 1,262 · 10⁹ s)?

λ · t = 7,28·10⁻¹⁰ · 1,262·10⁹ ≈ 0,919
N(t)/N₀ = e^(−0,919) ≈ 0,399
≈ 39,9 % der 1986 freigesetzten Kerne.