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Impulserhaltung

Eindimensionaler Stoß zweier Körper: m₁ · v₁ + m₂ · v₂ = m₁ · v₁' + m₂ · v₂'. Auflösbar nach einer der beiden Geschwindigkeiten nach dem Stoß.

Impulserhaltung
01 · Eingabe

Impulserhaltung berechnen

Eindimensionaler Stoß zweier Körper: m₁ · v₁ + m₂ · v₂ = m₁ · v₁' + m₂ · v₂'. Auflösbar nach einer der beiden Geschwindigkeiten nach dem Stoß.

Lösen für
v₂' = (m₁ · v₁ + m₂ · v₂ − m₁ · v₁') / m₂
kg
m/s
kg
m/s
m/s

Was besagt die Impulserhaltung?

In einem abgeschlossenen System (keine äußeren Kräfte) bleibt der Gesamtimpuls konstant — bei jedem Stoß, sei er elastisch, teilelastisch oder vollständig unelastisch. Für zwei Körper, die sich entlang einer Geraden bewegen, schreibt sich der Erhaltungssatz als:

m₁ · v₁ + m₂ · v₂ = m₁ · v₁' + m₂ · v₂'

Die ungestrichenen Größen beziehen sich auf den Zustand vor dem Stoß, die gestrichenen (v₁', v₂') auf den Zustand danach. Vorzeichen bilden die Bewegungsrichtung ab (z. B. + = nach rechts, − = nach links).

Mit fünf bekannten Größen lässt sich die sechste eindeutig berechnen — ohne zusätzliche Annahme über elastisch / unelastisch. Wer nur die Massen und Anfangsgeschwindigkeiten kennt, braucht zusätzlich den Energieerhaltungssatz (elastischer Stoß) oder die Bedingung v₁' = v₂' (vollständig unelastisch).

Die Formel

Formel Impulserhaltung (1D) 
m₁ · v₁ + m₂ · v₂  =  m₁ · v₁' + m₂ · v₂'

Auflösungen:
    v₂' = (m₁·v₁ + m₂·v₂ − m₁·v₁') / m₂
    v₁' = (m₁·v₁ + m₂·v₂ − m₂·v₂') / m₁

Die Variablen

SymbolBedeutungEinheitErklärung
m₁Masse 1kgMasse des ersten Körpers (m₁ > 0).
v₁v₁ vor Stoßm/sGeschwindigkeit Körper 1 vor dem Stoß (mit Vorzeichen).
m₂Masse 2kgMasse des zweiten Körpers (m₂ > 0).
v₂v₂ vor Stoßm/sGeschwindigkeit Körper 2 vor dem Stoß.
v₁'v₁ nach Stoßm/sGeschwindigkeit Körper 1 nach dem Stoß.
v₂'v₂ nach Stoßm/sGeschwindigkeit Körper 2 nach dem Stoß.

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Vollständig elastischer Stoß, gleiche Massen

Zwei Billardkugeln, m₁ = m₂ = 0,17 kg. Vorher: v₁ = 2 m/s, v₂ = 0. Nach dem Stoß bleibt Kugel 1 stehen (v₁' = 0). Was macht Kugel 2?

Rechnung m₁ = m₂ = 0,17, v₁ = 2, v₂ = 0, v₁' = 0 
v₂' = (m₁·v₁ + m₂·v₂ − m₁·v₁') / m₂
    = (0,17·2 + 0,17·0 − 0,17·0) / 0,17
    = 2 m/s

Die volle Geschwindigkeit wird auf Kugel 2 übertragen — das klassische Newton-Pendel-Verhalten.

Beispiel 2 — Unelastischer Stoß (Wagen koppeln)

Wagen 1 (m₁ = 500 kg, v₁ = 4 m/s) rollt auf den stehenden Wagen 2 (m₂ = 1.500 kg, v₂ = 0), beide kuppeln und fahren gemeinsam weiter. Beim vollständig unelastischen Stoß gilt v₁' = v₂'.

Wir setzen v₁' = v₂' = v_gem und nutzen die Erhaltung:

Rechnung m₁ = 500, v₁ = 4, m₂ = 1.500, v₂ = 0 
v_gem = (m₁·v₁ + m₂·v₂) / (m₁ + m₂)
      = (500·4 + 1.500·0) / (500 + 1.500)
      = 2.000 / 2.000
      = 1 m/s

Im Rechner ergibt sich derselbe Wert, wenn man z. B. v₁' = 1 vorgibt und nach v₂' auflösen lässt — oder umgekehrt.

Beispiel 3 — Frontalstoß, ungleiche Massen

m₁ = 2 kg, v₁ = 3 m/s; m₂ = 1 kg, v₂ = −1 m/s (Gegenrichtung). Nach dem Stoß: v₁' = 1 m/s. Wie schnell ist Körper 2?

Rechnung m₁ = 2, v₁ = 3, m₂ = 1, v₂ = −1, v₁' = 1 
v₂' = (m₁·v₁ + m₂·v₂ − m₁·v₁') / m₂
    = (2·3 + 1·(−1) − 2·1) / 1
    = (6 − 1 − 2) / 1
    = 3 m/s

Beispiel 4 — Rückstoß

Auf einer reibungsfreien Eisfläche stehen Person (m₁ = 60 kg) und Schlitten (m₂ = 20 kg) zunächst still. Die Person stößt den Schlitten mit v₂' = +5 m/s nach vorne ab. Mit welcher Geschwindigkeit rutscht sie selbst zurück?

Rechnung m₁ = 60, v₁ = 0, m₂ = 20, v₂ = 0, v₂' = 5 
v₁' = (m₁·v₁ + m₂·v₂ − m₂·v₂') / m₁
    = (0 + 0 − 20·5) / 60
    ≈ −1,667 m/s

Negatives Vorzeichen bestätigt: Person rutscht entgegengesetzt zur Schlittenrichtung.

Beispiel 5 — Auffahrunfall

Pkw (m₁ = 1.200 kg, v₁ = 15 m/s) fährt auf wartenden Pkw (m₂ = 1.000 kg, v₂ = 0) auf. Messung: Vorderfahrzeug schießt mit v₂' = 12 m/s nach vorn weg. Wie schnell ist Auffahrer noch?

Rechnung m₁ = 1.200, v₁ = 15, m₂ = 1.000, v₂ = 0, v₂' = 12 
v₁' = (m₁·v₁ + m₂·v₂ − m₂·v₂') / m₁
    = (1.200·15 + 0 − 1.000·12) / 1.200
    = (18.000 − 12.000) / 1.200
    = 5 m/s