Trägheitsmoment (Vollkugel)
Trägheitsmoment einer homogenen Vollkugel um eine Achse durch den Mittelpunkt: I = ⅖ · m · r².
Trägheitsmoment (Vollkugel) berechnen
Trägheitsmoment einer homogenen Vollkugel um eine Achse durch den Mittelpunkt: I = ⅖ · m · r².
- I — Trägheitsmoment
- m — Masse
- r — Radius
Was ist das Trägheitsmoment einer Vollkugel?
Für eine homogene Vollkugel (Masse gleichmäßig auf das Volumen verteilt) gilt bezüglich jeder Achse durch den Mittelpunkt:
I = ⅖ · m · r² = 0,4 · m · r²
Das ist deutlich weniger als bei einem Vollzylinder gleicher Masse und gleichen Radius (I = ½ · m · r²): Die Masse einer Kugel ist im Durchschnitt näher an der Achse als bei einem Zylinder, weshalb der rotatorische Widerstand kleiner ausfällt.
Eine Hohlkugel (dünnwandig) hat I = ⅔ · m · r² — die Masse sitzt komplett am Rand. Daran erkennt man am Ergebnis sofort die Geometrie eines abrollenden Balles: Eine Vollkugel rollt eine schiefe Ebene schneller hinunter als eine Hohlkugel gleicher Masse und Radius.
Die Formel
I = ⅖ · m · r² (Mittelpunktsachse)
Auflösungen:
m = 5 · I / (2 · r²)
r = √(5 · I / (2 · m))Die Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| I | Trägheitsmoment | kg·m² | Trägheitsmoment bezüglich einer Mittelpunktsachse. |
| m | Masse | kg | Gesamtmasse der Kugel (m > 0). |
| r | Radius | m | Radius der Kugel. |
Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Billardkugel
m = 0,17 kg, r = 0,028 m:
I = ⅖ · 0,17 · 0,028²
= 0,4 · 0,17 · 0,000784
≈ 5,33 · 10⁻⁵ kg·m²Beispiel 2 — Fußball (vereinfacht als Vollkugel)
m = 0,43 kg, r = 0,11 m:
I = 0,4 · 0,43 · 0,11²
= 0,4 · 0,43 · 0,0121
≈ 2,08 · 10⁻³ kg·m²Beispiel 3 — Massive Stahlkugel
m = 20 kg, r = 0,08 m:
I = 0,4 · 20 · 0,08²
= 0,4 · 20 · 0,0064
= 0,0512 kg·m²Beispiel 4 — Radius aus Trägheitsmoment
Eine Kugel mit m = 2 kg hat I = 0,008 kg·m²:
r = √(5 · I / (2 · m))
= √(5 · 0,008 / 4)
= √0,01
= 0,1 mBeispiel 5 — Masse aus Trägheitsmoment
Eine Kugel (r = 0,05 m) hat I = 0,005 kg·m²:
m = 5 · I / (2 · r²)
= 5 · 0,005 / (2 · 0,0025)
= 0,025 / 0,005
= 5 kg