Trägheitsmoment (Vollzylinder)
Trägheitsmoment eines homogenen Vollzylinders um seine Symmetrieachse: I = ½ · m · r².
Trägheitsmoment (Vollzylinder) berechnen
Trägheitsmoment eines homogenen Vollzylinders um seine Symmetrieachse: I = ½ · m · r².
- I — Trägheitsmoment
- m — Masse
- r — Radius
Was ist das Trägheitsmoment eines Vollzylinders?
Das Trägheitsmoment I ist das rotatorische Analogon zur Masse: Es beschreibt den Widerstand eines starren Körpers gegen Änderung seiner Drehbewegung. Für einen homogenen Vollzylinder, der um seine eigene Symmetrieachse rotiert, gilt:
I = ½ · m · r²
Die Länge des Zylinders geht nicht ein — relevant ist nur, wie die Masse radial verteilt ist. Damit unterscheidet sich der Vollzylinder vom dünnwandigen Hohlzylinder (I = m · r²) deutlich: Bei gleicher Masse und gleichem Radius ist das Trägheitsmoment des Vollzylinders nur halb so groß.
Typische Anwendungen: Wellen, Walzen, Schwungräder, rollende Zylinder auf einer schiefen Ebene.
Die Formel
I = ½ · m · r² (Symmetrieachse)
Auflösungen:
m = 2 · I / r²
r = √(2 · I / m)Die Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| I | Trägheitsmoment | kg·m² | Trägheitsmoment um die Symmetrieachse. |
| m | Masse | kg | Gesamtmasse des Zylinders (m > 0). |
| r | Radius | m | Äußerer Radius des Zylinders. |
Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Stahlwelle
Eine Welle mit m = 12 kg und r = 0,04 m:
I = ½ · 12 · 0,04²
= ½ · 12 · 0,0016
= 0,0096 kg·m²Beispiel 2 — Walze
Eine Walze mit m = 200 kg und r = 0,25 m:
I = ½ · 200 · 0,25²
= ½ · 200 · 0,0625
= 6,25 kg·m²Beispiel 3 — Schwungrad
m = 80 kg, r = 0,30 m:
I = ½ · 80 · 0,30²
= ½ · 80 · 0,09
= 3,6 kg·m²Bei einer Winkelgeschwindigkeit von ω = 50 rad/s speichert es E_rot = ½ · 3,6 · 50² = 4.500 J.
Beispiel 4 — Radius aus Trägheitsmoment
Ein Zylinder (m = 5 kg) soll I = 0,1 kg·m² haben:
r = √(2 · I / m)
= √(2 · 0,1 / 5)
= √0,04
= 0,2 mBeispiel 5 — Masse aus Trägheitsmoment
Eine Walze mit r = 0,15 m hat I = 2,25 kg·m². Welche Masse hat sie?
m = 2 · I / r²
= 2 · 2,25 / 0,0225
= 200 kg