/ Fluide & Strömungslehre

Bernoulli-Gleichung

Energieerhaltung in einer reibungsfreien Strömung: p₁ + ½ρv₁² + ρgh₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgh₂. Löst nach Strömungsgeschwindigkeit v₁ oder v₂.

Bernoulli-Gleichung

01 · Eingabe

Bernoulli-Gleichung berechnen

Energieerhaltung in einer reibungsfreien Strömung: p₁ + ½ρv₁² + ρgh₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgh₂. Löst nach Strömungsgeschwindigkeit v₁ oder v₂.

Lösen für

v₂ = √(2 · (p₁ + ½ · ρ · v₁² + ρ · g · h₁ − p₂ − ρ · g · h₂) / ρ)

p1 Druck 1

v1 Geschwindigkeit 1

m/s

h1 Höhe 1

p2 Druck 2

h2 Höhe 2

rho Dichte

kg/m³

Was ist die Bernoulli-Gleichung?

Die Bernoulli-Gleichung ist die Energiebilanz einer idealen (reibungsfreien, inkompressiblen) Strömung entlang einer Stromlinie. Die Summe aus statischem Druck, dynamischem Staudruck ½ρv² und Schweredruck ρgh bleibt konstant.

Daraus folgt: Wo eine Strömung schneller wird, sinkt der statische Druck — das Prinzip hinter Tragflächen, Venturi-Düsen, Wasserstrahlpumpen und Pitot-Rohren.

Die Formel

Formel Bernoulli-Gleichung

p₁ + ½ · ρ · v₁² + ρ · g · h₁ = p₂ + ½ · ρ · v₂² + ρ · g · h₂

Auflösung nach v₂:
    v₂ = √(2 · (p₁ + ½·ρ·v₁² + ρ·g·h₁ − p₂ − ρ·g·h₂) / ρ)

g = 9,80665 m/s²

Die Gleichung gilt streng nur für reibungsfreie, stationäre, inkompressible Strömungen. Für viele technische Anwendungen ist sie aber eine sehr gute Näherung.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
p₁	Druck 1	Pa	Statischer Druck am Punkt 1.
v₁	Geschwindigkeit 1	m/s	Strömungsgeschwindigkeit am Punkt 1.
h₁	Höhe 1	m	Höhe des Punktes 1 über Referenzniveau.
p₂	Druck 2	Pa	Statischer Druck am Punkt 2.
v₂	Geschwindigkeit 2	m/s	Strömungsgeschwindigkeit am Punkt 2.
h₂	Höhe 2	m	Höhe des Punktes 2 über Referenzniveau.
ρ	Dichte	kg/m³	Dichte des Fluids (konstant).

Minimal-Beispiel

Ausströmen aus einem offenen Behälter (Torricelli-Spezialfall): p₁ = p₂, v₁ ≈ 0, Höhenunterschied Δh = 2 m, Wasser:

Rechnung Ausströmgeschwindigkeit

v₂ = √(2 · g · Δh)
   = √(2 · 9,81 · 2)
   ≈ 6,26 m/s

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Venturi-Düse

Wasser strömt durch ein horizontales Rohr (h₁ = h₂). Punkt 1: v₁ = 2 m/s, p₁ = 200 000 Pa. Im verengten Querschnitt erreicht es v₂ = 6 m/s. Welcher Druck herrscht dort? Wir formen Bernoulli um zu p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²):

Rechnung Druck in der Engstelle

p₂ = 200 000 + ½ · 1000 · (2² − 6²)
   = 200 000 + 500 · (−32)
   = 184 000 Pa
   = 1,84 bar

In der Verengung sinkt der statische Druck um 16 mbar.

Beispiel 2 — Tragfläche eines Flugzeugs

Über einer Tragfläche strömt Luft schneller (v₂ = 270 m/s) als darunter (v₁ = 240 m/s), Höhenunterschied vernachlässigbar, Luftdichte ρ = 1,225 kg/m³, p₁ = 80 000 Pa:

Rechnung Druck über der Tragfläche

p₂ = p₁ + ½ · ρ · (v₁² − v₂²)
   = 80 000 + ½ · 1,225 · (240² − 270²)
   = 80 000 + 0,6125 · (−15 300)
   ≈ 70 630 Pa

Die Druckdifferenz von etwa 9,4 kPa erzeugt den Auftrieb.

Beispiel 3 — Wasserstrahl aus einem Tankloch

Ein offener Wassertank hat 5 m über dem Loch Wasserspiegel. Ausströmgeschwindigkeit:

Rechnung Torricelli

v₂ = √(2 · 9,81 · 5)
   ≈ 9,90 m/s

Beispiel 4 — Pitot-Rohr am Flugzeug

Ein Pitot-Rohr misst den Staudruck Δp = p_stau − p_stat. Bei Δp = 5000 Pa und Luftdichte 1,225 kg/m³:

Rechnung Fluggeschwindigkeit

v = √(2 · Δp / ρ)
  = √(2 · 5000 / 1,225)
  ≈ 90,4 m/s
  ≈ 325 km/h

Beispiel 5 — Bewässerungsleitung mit Höhenunterschied

Wasser fließt von einem hochgelegenen Tank (h₁ = 20 m, v₁ ≈ 0, p₁ = Luftdruck) zu einer 5 m tieferliegenden Düse (h₂ = 15 m, p₂ = Luftdruck). Austrittsgeschwindigkeit:

Rechnung Düsengeschwindigkeit

v₂ = √(2 · g · (h₁ − h₂))
   = √(2 · 9,81 · 5)
   ≈ 9,90 m/s