/ Fluide & Strömungslehre

Hagen-Poiseuille-Gesetz

Druckverlust bei laminarer Rohrströmung: ΔP = 128 · η · L · Q / (π · d⁴). Der Rohrdurchmesser geht mit der vierten Potenz ein.

01 · Eingabe

Hagen-Poiseuille-Gesetz berechnen

Druckverlust bei laminarer Rohrströmung: ΔP = 128 · η · L · Q / (π · d⁴). Der Rohrdurchmesser geht mit der vierten Potenz ein.

Lösen für

ΔP = 128 · η · L · Q / (π · d⁴)

eta Dynamische Viskosität

Pa·s

L Rohrlänge

Q Volumenstrom

m³/s

d Rohrdurchmesser

Was ist das Hagen-Poiseuille-Gesetz?

Das Hagen-Poiseuille-Gesetz beschreibt den Druckverlust einer laminaren, stationären Strömung eines Newtonschen Fluids durch ein gerades Rohr mit kreisförmigem Querschnitt. Es gilt streng nur für niedrige Reynoldszahlen (Re ≲ 2300).

Auffälligstes Merkmal: Der Druckverlust wächst mit der vierten Potenz des Rohrdurchmessers — eine kleine Verengung verursacht enorme Verluste. Genau das macht das Gesetz so wichtig in der Medizin (Blutgefäße, Katheter, Infusionen).

Die Formel

Formel Hagen-Poiseuille

ΔP = 128 · η · L · Q / (π · d⁴)

Umstellungen:
    Q = ΔP · π · d⁴ / (128 · η · L)
    d = ⁴√(128 · η · L · Q / (π · ΔP))

Halbierung des Durchmessers vergrößert den Druckverlust um den Faktor 16 — oder bei gegebenem Druckabfall sinkt der Volumenstrom auf 1/16.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
ΔP	Druckverlust	Pa	Druckabfall über die Rohrlänge L.
η	Dynamische Viskosität	Pa·s	Viskosität des Fluids (Wasser bei 20 °C ≈ 10⁻³ Pa·s).
L	Rohrlänge	m	Länge der durchströmten Rohrstrecke.
Q	Volumenstrom	m³/s	Volumenstrom durch das Rohr.
d	Rohrdurchmesser	m	Innendurchmesser des Rohrs.

Minimal-Beispiel

Glyzerin (η = 1,0 Pa·s) strömt mit Q = 1 · 10⁻⁵ m³/s durch ein L = 1 m langes Rohr, d = 10 mm:

Rechnung Druckverlust Glyzerin

d⁴ = (0,010)⁴       = 1,0 · 10⁻⁸ m⁴
ΔP = 128 · 1,0 · 1 · 1e−5 / (π · 1e−8)
   ≈ 40 744 Pa
   ≈ 0,41 bar

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Infusionsschlauch

Infusionslösung (η ≈ 10⁻³ Pa·s), Schlauch d = 3 mm, L = 1,2 m, Q = 100 ml/h = 2,78 · 10⁻⁸ m³/s:

Rechnung Druckabfall im Infusionsset

d⁴ = (0,003)⁴       = 8,1 · 10⁻¹¹ m⁴
ΔP = 128 · 1e−3 · 1,2 · 2,78e−8 / (π · 8,1e−11)
   ≈ 16,8 Pa

Verschwindend klein — die Tropfgeschwindigkeit wird in der Praxis durch den Hubdruck der Infusionsflasche dominiert.

Beispiel 2 — Kapillare im Labor

Glaskapillare d = 0,5 mm, L = 0,2 m, Wasser (η = 10⁻³ Pa·s), Druck ΔP = 5000 Pa. Welcher Volumenstrom?

Rechnung Volumenstrom durch Kapillare

d⁴ = (5e−4)⁴       = 6,25 · 10⁻¹⁴ m⁴
Q  = 5000 · π · 6,25e−14 / (128 · 1e−3 · 0,2)
   ≈ 3,83 · 10⁻⁸ m³/s
   ≈ 0,138 l/h

Beispiel 3 — Verengung eines Blutgefäßes

Eine Arteriole verengt sich von d = 0,1 mm auf d = 0,08 mm bei gleichem Druckabfall. Verhältnis der Volumenströme?

Rechnung Auswirkung der Verengung

Q ∝ d⁴
Q_neu / Q_alt = (0,08 / 0,10)⁴
              = 0,8⁴
              ≈ 0,41

Eine Verengung um nur 20 % halbiert nahezu den Durchfluss — anschaulicher klinischer Befund bei Atherosklerose.

Beispiel 4 — Ölleitung im Hydrauliksystem

Hydrauliköl (η = 0,04 Pa·s), Rohr d = 8 mm, L = 5 m, Q = 0,5 l/min = 8,33 · 10⁻⁶ m³/s:

Rechnung Druckverlust Hydraulikleitung

d⁴ = (0,008)⁴       = 4,096 · 10⁻⁹ m⁴
ΔP = 128 · 0,04 · 5 · 8,33e−6 / (π · 4,096e−9)
   ≈ 16 580 Pa
   ≈ 0,17 bar

Beispiel 5 — Erforderlicher Innendurchmesser

Eine Pipeline soll Q = 1 · 10⁻³ m³/s eines viskosen Öls (η = 0,1 Pa·s) über L = 100 m mit höchstens ΔP = 5 bar = 5 · 10⁵ Pa transportieren. Mindestdurchmesser?

Rechnung Auslegung Pipeline

d = ⁴√(128 · η · L · Q / (π · ΔP))
  = ⁴√(128 · 0,1 · 100 · 1e−3 / (π · 5e5))
  = ⁴√(8,15 · 10⁻⁷)
  ≈ 0,0301 m
  ≈ 30 mm