/ Fluide & Strömungslehre

Kontinuitätsgleichung

Massenerhaltung bei inkompressibler Strömung: A₁ · v₁ = A₂ · v₂. Kleinere Querschnitte erzwingen höhere Geschwindigkeiten.

01 · Eingabe

Kontinuitätsgleichung berechnen

Massenerhaltung bei inkompressibler Strömung: A₁ · v₁ = A₂ · v₂. Kleinere Querschnitte erzwingen höhere Geschwindigkeiten.

Lösen für

A₁ = A₂ · v₂ / v₁

v1 Geschwindigkeit 1

m/s

A2 Querschnitt 2

m²

v2 Geschwindigkeit 2

m/s

Was ist die Kontinuitätsgleichung?

Bei einer inkompressiblen Strömung muss durch jeden Querschnitt eines Rohres pro Zeit dasselbe Volumen fließen — sonst würde sich irgendwo Material anhäufen. Daraus folgt: Wo der Querschnitt kleiner wird, muss die Geschwindigkeit größer werden.

Die Kontinuitätsgleichung ist eine direkte Folge der Massenerhaltung und gilt für jede stationäre Strömung eines Fluids mit konstanter Dichte.

Die Formel

Formel Kontinuitätsgleichung

A₁ · v₁ = A₂ · v₂

Umstellungen:
    v₂ = A₁ · v₁ / A₂
    A₂ = A₁ · v₁ / v₂

Halbiert sich der Querschnitt, verdoppelt sich die Geschwindigkeit — Halbierung des Durchmessers vervierfacht sie sogar.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
A₁	Querschnitt 1	m²	Querschnittsfläche an Position 1.
v₁	Geschwindigkeit 1	m/s	Mittlere Strömungsgeschwindigkeit dort.
A₂	Querschnitt 2	m²	Querschnittsfläche an Position 2.
v₂	Geschwindigkeit 2	m/s	Mittlere Strömungsgeschwindigkeit dort.

Minimal-Beispiel

Ein Rohr verjüngt sich von A₁ = 0,01 m² auf A₂ = 0,0025 m² bei v₁ = 1 m/s:

Rechnung Verjüngung

v₂ = A₁ · v₁ / A₂
   = 0,01 · 1 / 0,0025
   = 4 m/s

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Gartenschlauch mit Düse

Ein Gartenschlauch hat Innendurchmesser d₁ = 16 mm, die Düse d₂ = 4 mm. Wasser strömt im Schlauch mit v₁ = 1,5 m/s. Düsengeschwindigkeit?

Rechnung Strahlgeschwindigkeit

A₁ = π/4 · 0,016²    ≈ 2,011 · 10⁻⁴ m²
A₂ = π/4 · 0,004²    ≈ 1,257 · 10⁻⁵ m²
v₂ = A₁ · v₁ / A₂    = 2,011e−4 · 1,5 / 1,257e−5
                     ≈ 24 m/s

Der Strahl wird 16-mal schneller — exakt das Verhältnis (d₁/d₂)².

Beispiel 2 — Aorta und Kapillaren

Aorta-Querschnitt A₁ = 3 cm² = 3 · 10⁻⁴ m², Blutgeschwindigkeit v₁ = 0,3 m/s. Gesamtquerschnitt aller Kapillaren A₂ = 4500 cm². Geschwindigkeit dort?

Rechnung Blutfluss

v₂ = A₁ · v₁ / A₂
   = 3 · 0,3 / 4500
   ≈ 0,0002 m/s
   = 0,2 mm/s

In den Kapillaren strömt das Blut sehr langsam — das ermöglicht den Stoffaustausch.

Beispiel 3 — Lüftungskanal

Hauptkanal A₁ = 0,4 m² bei v₁ = 4 m/s. Abzweig mit A₂ = 0,1 m². Geschwindigkeit im Abzweig?

Rechnung Abzweigströmung

v₂ = 0,4 · 4 / 0,1
   = 16 m/s

Beispiel 4 — Flussverengung

Ein Fluss hat oberhalb einer Brücke A₁ = 80 m² Querschnitt und fließt mit v₁ = 0,5 m/s. Unter der Brücke verengt er sich auf A₂ = 30 m²:

Rechnung Fließgeschwindigkeit unter der Brücke

v₂ = 80 · 0,5 / 30
   ≈ 1,33 m/s

Beispiel 5 — Notwendiger Querschnitt einer Verteilerleitung

In einer Hauptleitung fließen 0,5 m³/s bei v₁ = 2 m/s. Im verteilenden Leitungsabschnitt soll v₂ höchstens 1 m/s sein. Mindestquerschnitt?

Rechnung Mindestquerschnitt

A₁ = Q / v₁         = 0,5 / 2   = 0,25 m²
A₂ = A₁ · v₁ / v₂   = 0,25 · 2 / 1 = 0,5 m²