Stokes-Reibungskraft

Was ist die Stokes-Reibungskraft?

Bewegt sich eine kleine Kugel langsam durch ein zähes Fluid, wirkt eine geschwindigkeitsproportionale Reibungskraft entgegen der Bewegung. Diese Stokes-Reibung wurde 1851 von George Gabriel Stokes hergeleitet und gilt streng nur bei sehr kleinen Reynoldszahlen (Re ≪ 1).

Anwendungsbereiche: Sedimentation in Flüssigkeiten, Bewegung von Mikroorganismen, Erythrozyten-Senkungsgeschwindigkeit, Tropfen in Aerosolen und die historische Bestimmung der Elementarladung im Millikan-Versuch.

Die Formel

F = 6π · η · r · v

Umstellungen:
    η = F / (6π · r · v)
    r = F / (6π · η · v)
    v = F / (6π · η · r)

Die Formel gilt für eine starre Kugel in einer unbegrenzten, laminaren Strömung. Bei größeren Reynoldszahlen wird die Reibungskraft zunehmend geschwindigkeitsquadratisch.

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Eine Kugel mit r = 1 mm sinkt in Glyzerin (η = 1 Pa·s) mit v = 0,01 m/s:

F = 6π · 1 · 0,001 · 0,01
  ≈ 1,885 · 10⁻⁴ N
  ≈ 0,189 mN

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Sedimentation einer Sandkugel

Eine Sandkugel mit r = 0,5 mm und Dichte ρ_K = 2650 kg/m³ sinkt in Wasser (ρ_F = 1000 kg/m³, η = 10⁻³ Pa·s). Endsinkgeschwindigkeit aus Kräftegleichgewicht (Gewicht − Auftrieb = Stokes):

v = 2 · r² · (ρ_K − ρ_F) · g / (9 · η)
  = 2 · (5e−4)² · 1650 · 9,81 / (9 · 1e−3)
  ≈ 0,899 m/s

In der Praxis ist Re hier bereits zu groß, sodass die wahre Sinkgeschwindigkeit kleiner ausfällt. Für kleinere Sandkörner (≤ 100 μm) ist die Stokes-Näherung gut.

Beispiel 2 — Erythrozyten-Senkung (BSG)

Ein Erythrozyt (r ≈ 4 μm) sinkt im Plasma (η ≈ 1,5 · 10⁻³ Pa·s) mit etwa v = 5 mm/h = 1,39 · 10⁻⁶ m/s:

F = 6π · 1,5e−3 · 4e−6 · 1,39e−6
  ≈ 1,57 · 10⁻¹³ N

Winzige Kraft — sie reicht aber, weil das Eigengewicht des Erythrozyten ebenso winzig ist.

Beispiel 3 — Aerosoltropfen in Luft

Wassertropfen r = 5 μm in Luft (η = 1,8 · 10⁻⁵ Pa·s), Endsinkgeschwindigkeit v ≈ 3 mm/s:

F = 6π · 1,8e−5 · 5e−6 · 3e−3
  ≈ 5,09 · 10⁻¹² N

Daraus ergibt sich, warum sehr kleine Tropfen lange in der Luft schweben — der Reibungskraft genügt schon eine geringe Auftriebsströmung, um den Tropfen zu halten.

Beispiel 4 — Viskositätsbestimmung mit der Kugelfallmethode

Eine Stahlkugel (r = 2 mm, m = 2,6 · 10⁻⁴ kg) fällt in einer unbekannten Flüssigkeit (ρ_F = 880 kg/m³) mit konstanter Endgeschwindigkeit v = 0,03 m/s. Aus dem Kräftegleichgewicht m·g − ρ_F·V·g = 6π·η·r·v folgt η:

V       = 4/3 · π · (2e−3)³ ≈ 3,35 · 10⁻⁸ m³
F_Netto = m·g − ρ_F·V·g
        = 2,6e−4 · 9,81 − 880 · 3,35e−8 · 9,81
        ≈ 2,26 · 10⁻³ N
η       = F / (6π · r · v)
        = 2,26e−3 / (6π · 2e−3 · 0,03)
        ≈ 2,00 Pa·s

Beispiel 5 — Bewegung eines Bakteriums

Ein kugelförmiges Bakterium (r = 1 μm) schwimmt mit v = 30 μm/s durch Wasser (η = 10⁻³ Pa·s):

F = 6π · 1e−3 · 1e−6 · 3e−5
  ≈ 5,65 · 10⁻¹³ N

Genau diese Kraft muss das Flagellum dauerhaft liefern.