Schiefer Wurf (Reichweite)

Was ist der schiefe Wurf?

Beim schiefen Wurf wird ein Körper unter einem Winkel α zur Horizontalen mit der Geschwindigkeit v₀ abgeworfen. Die Bewegung zerfällt in eine gleichförmige Horizontalbewegung (v₀ · cos α) und eine gleichmäßig beschleunigte Vertikalbewegung (v₀ · sin α, dann freier Fall).

Bei gleicher Abwurf- und Landehöhe ergibt sich die Reichweite zu R = v₀² · sin(2α) / g. Das Maximum liegt bei α = 45°.

Die Formel

R = v₀² · sin(2α) / g

Umstellungen:
    v₀ = √(R · g / sin(2α))
    α  = ½ · arcsin(R · g / v₀²)

Die Wurfhöhe selbst (Scheitelpunkt) ist h = (v₀ · sin α)² / (2 · g). Bei α = 45° gilt R_max = v₀² / g.

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Ein Ball wird mit 10 m/s unter 45° abgeworfen.

R = v₀² · sin(2α) / g
  = 10² · sin(90°) / 9,81
  = 100 · 1 / 9,81
  ≈ 10,2 m

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Kugelstoßen

Ein Kugelstoßer wirft mit 13 m/s unter 38° (Bodenniveau-Modell).

R = 13² · sin(76°) / 9,81
  = 169 · 0,9703 / 9,81
  ≈ 16,71 m

Beispiel 2 — Vergleich 30°, 45°, 60°

Bei v₀ = 20 m/s:

α = 30°:  R = 400 · sin(60°) / 9,81 ≈ 35,3 m
α = 45°:  R = 400 · sin(90°) / 9,81 ≈ 40,8 m   ← Maximum
α = 60°:  R = 400 · sin(120°) / 9,81 ≈ 35,3 m

Auffällig: 30° und 60° liefern die gleiche Reichweite (symmetrisch zum 45°-Maximum).

Beispiel 3 — Fußball-Freistoß

Ein Freistoß mit 22 m/s unter 25° (vereinfachte Modellrechnung ohne Luftwiderstand).

R = 22² · sin(50°) / 9,81
  = 484 · 0,766 / 9,81
  ≈ 37,8 m

Beispiel 4 — Welcher Winkel für 30 m?

Ein Speerwerfer wirft mit 18 m/s. Welcher Winkel ist für 30 m Reichweite nötig?

α = ½ · arcsin(R · g / v₀²)
  = ½ · arcsin(30 · 9,81 / 324)
  = ½ · arcsin(0,908)
  = ½ · 65,3°
  ≈ 32,7°

(Es existiert auch die zweite Lösung 90° − 32,7° = 57,3°.)

Beispiel 5 — Welche v₀ für 50 m bei 45°?

v₀ = √(R · g / sin(2α))
   = √(50 · 9,81 / sin(90°))
   = √490,5
   ≈ 22,15 m/s