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RLC-Parallelimpedanz

Gesamtimpedanz einer RLC-Parallelschaltung: 1 / Z = √((1/R)² + (1/X_L − 1/X_C)²).

01 · Eingabe

RLC-Parallelimpedanz berechnen

Gesamtimpedanz einer RLC-Parallelschaltung: 1 / Z = √((1/R)² + (1/X_L − 1/X_C)²).

Z = 1 / √((1/R)² + (1/X_L − 1/X_C)²)

R Widerstand

XL Induktive Reaktanz

XC Kapazitive Reaktanz

Was ist die Impedanz einer RLC-Parallelschaltung?

In der Parallelschaltung liegt an allen drei Bauteilen dieselbe Spannung, aber die Ströme sind phasenverschoben. Statt mit Widerständen rechnet man mit Leitwerten (Kehrwerten): Diese addieren sich vektoriell zur Gesamtadmittanz, die Impedanz ist deren Kehrwert.

In Parallelresonanz (X_L = X_C) wird Z maximal — der Schwingkreis erscheint nach außen hochohmig.

Die Formel

Formel RLC-Parallel

1/Z = √((1/R)² + (1/X_L − 1/X_C)²)

Aufgelöst:
    Z = 1 / √((1/R)² + (1/X_L − 1/X_C)²)

X_L und X_C sind wieder frequenzabhängig. Bei Parallelresonanz heben sich 1/X_L und 1/X_C auf und Z = R.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
Z	Impedanz	Ω	Gesamtimpedanz der Parallelschaltung.
R	Widerstand	Ω	Ohmscher Anteil.
X_L	Induktive Reaktanz	Ω	Induktiver Blindwiderstand.
X_C	Kapazitive Reaktanz	Ω	Kapazitiver Blindwiderstand.

Minimal-Beispiel

R = 100 Ω, X_L = 200 Ω, X_C = 50 Ω:

Rechnung Beispiel

1/Z = √((1/100)² + (1/200 − 1/50)²)
    = √(10⁻⁴ + (5 · 10⁻³ − 0,02)²)
    = √(10⁻⁴ + (−0,015)²)
    = √(10⁻⁴ + 2,25 · 10⁻⁴)
    = √(3,25 · 10⁻⁴)
    ≈ 0,01803

Z   ≈ 55,5 Ω

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Antennenanpasskreis bei Resonanz

R = 10 kΩ (Verlustwiderstand), X_L = X_C = 500 Ω:

Rechnung Parallelresonanz

1/X_L − 1/X_C = 0
Z = R = 10 kΩ

Genau bei der Resonanzfrequenz wird die Impedanz maximal — die Quelle „sieht" nur R.

Beispiel 2 — Unterhalb der Resonanzfrequenz

R = 1 kΩ, X_L = 100 Ω, X_C = 1.000 Ω:

Rechnung unterhalb Resonanz

1/Z = √((10⁻³)² + (0,01 − 10⁻³)²)
    = √(10⁻⁶ + (9 · 10⁻³)²)
    = √(10⁻⁶ + 8,1 · 10⁻⁵)
    ≈ 9,06 · 10⁻³
Z   ≈ 110,4 Ω

Spule dominiert — die niederohmige Reaktanz bestimmt das Verhalten.

Beispiel 3 — Oberhalb der Resonanzfrequenz

R = 1 kΩ, X_L = 2.000 Ω, X_C = 100 Ω:

Rechnung oberhalb Resonanz

1/Z = √((10⁻³)² + (5 · 10⁻⁴ − 0,01)²)
    = √(10⁻⁶ + (−9,5 · 10⁻³)²)
    = √(10⁻⁶ + 9,025 · 10⁻⁵)
    ≈ 9,55 · 10⁻³
Z   ≈ 104,7 Ω

Kondensator dominiert.

Beispiel 4 — Schwingkreis mit niedrigem Q

R = 50 Ω, X_L = 100 Ω, X_C = 100 Ω (Resonanz):

Rechnung Resonanz

Z = R = 50 Ω

Verlustwiderstand begrenzt die Resonanzüberhöhung.

Beispiel 5 — Leistungsfaktor-Korrektur

Motor (induktiv) parallel zu Kompensationskondensator: R = 100 Ω, X_L = 80 Ω, X_C = 80 Ω.

Rechnung cos φ = 1

1/X_L − 1/X_C = 0
Z = R = 100 Ω

Genau in dieser Konstellation arbeitet die Anlage mit cos φ = 1 — das Ziel jeder Blindleistungskompensation.