RLC-Resonanzfrequenz

Was ist die Resonanzfrequenz eines RLC-Kreises?

Im RLC-Schwingkreis tauschen Spule und Kondensator ihre Energie periodisch aus. Bei einer ganz bestimmten Frequenz — der Resonanzfrequenz f₀ — ist der induktive Blindwiderstand betragsmäßig gleich dem kapazitiven, so dass sich beide aufheben. Der Widerstand R bestimmt dann allein die Impedanz und die Dämpfung.

Die Beziehung heißt Thomsonsche Schwingungsgleichung und beschreibt jeden klassischen Funk-, Filter- und Oszillatorkreis.

Die Formel

f₀ = 1 / (2π · √(L · C))

Umstellungen:
    L = 1 / ((2π · f₀)² · C)
    C = 1 / ((2π · f₀)² · L)

Beachte: f₀ hängt nicht von R ab — R beeinflusst nur die Güte und Bandbreite.

Die Variablen

Minimal-Beispiel

L = 10 mH, C = 1 μF:

f₀ = 1 / (2π · √(10⁻² · 10⁻⁶))
   = 1 / (2π · √(10⁻⁸))
   = 1 / (2π · 10⁻⁴)
   ≈ 1.591 Hz

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Mittelwellensender (530 kHz)

L = 200 μH gegeben — welche Kapazität?

C = 1 / ((2π · 530.000)² · 2 · 10⁻⁴)
  = 1 / (1,108 · 10¹³ · 2 · 10⁻⁴)
  ≈ 4,5 · 10⁻¹⁰ F
  ≈ 450 pF

Beispiel 2 — UKW-Vorkreis (100 MHz)

L = 0,2 μH:

C = 1 / ((2π · 10⁸)² · 2 · 10⁻⁷)
  = 1 / (3,948 · 10¹⁷ · 2 · 10⁻⁷)
  ≈ 1,27 · 10⁻¹¹ F
  ≈ 12,7 pF

Beispiel 3 — Netzfrequenz-Saugkreis (50 Hz)

C = 100 μF, welche Induktivität?

L = 1 / ((2π · 50)² · 10⁻⁴)
  = 1 / (98.696 · 10⁻⁴)
  ≈ 0,101 H
  ≈ 101 mH

Beispiel 4 — Audio-Bandfilter (1 kHz)

L = 100 mH:

C = 1 / ((2π · 1.000)² · 0,1)
  = 1 / (3,948 · 10⁷ · 0,1)
  ≈ 2,53 · 10⁻⁷ F
  ≈ 253 nF

Beispiel 5 — Quarzersatzkreis

L = 10 mH, C = 25 fF (Pico-Femto-Bereich eines Quarzes):

f₀ = 1 / (2π · √(10⁻² · 2,5 · 10⁻¹⁴))
   = 1 / (2π · √(2,5 · 10⁻¹⁶))
   = 1 / (2π · 1,581 · 10⁻⁸)
   ≈ 10.066.226 Hz
   ≈ 10,07 MHz