Skineffekt (Eindringtiefe)

Was ist der Skineffekt?

Wechselstrom verteilt sich nicht gleichmäßig über den Leiterquerschnitt, sondern drängt mit steigender Frequenz immer mehr zur Leiteroberfläche — der Skineffekt. Die Tiefe, bei der die Stromdichte auf 1/e ≈ 36,8 % gefallen ist, heißt Eindringtiefe δ.

Konsequenz: Bei Hochfrequenz wirken nur dünne Randschichten leitend, der innere Querschnitt liegt brach. Daher Litze, versilberte Drähte und Hohlleiter in der HF-Technik.

Die Formel

δ = √(2 · ρ / (ω · μ₀))

Umstellungen:
    ρ = δ² · ω · μ₀ / 2
    ω = 2 · ρ / (δ² · μ₀)

ω = 2π · f
μ₀ = 4π · 10⁻⁷ H/m

Annahme: nicht-ferromagnetisches Material (μᵣ = 1). Für Eisen muss μ₀ durch μ₀ · μᵣ ersetzt werden — dort wird δ deutlich kleiner.

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Kupfer (ρ = 1,68 · 10⁻⁸ Ω·m), f = 50 Hz → ω = 314 rad/s:

δ = √(2 · 1,68 · 10⁻⁸ / (314 · 1,257 · 10⁻⁶))
  = √(3,36 · 10⁻⁸ / 3,95 · 10⁻⁴)
  = √(8,51 · 10⁻⁵)
  ≈ 9,22 · 10⁻³ m
  ≈ 9,22 mm

Bei Netzfrequenz also fast 1 cm — bei 50 Hz spielt der Skineffekt für Hausinstallationen praktisch keine Rolle.

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Kupfer bei 1 MHz

ρ = 1,68 · 10⁻⁸ Ω·m, f = 10⁶ Hz → ω ≈ 6,28 · 10⁶ rad/s:

δ = √(2 · 1,68 · 10⁻⁸ / (6,28 · 10⁶ · 1,257 · 10⁻⁶))
  = √(3,36 · 10⁻⁸ / 7,89)
  = √(4,26 · 10⁻⁹)
  ≈ 6,52 · 10⁻⁵ m
  ≈ 65 μm

Bereits dünner als ein Menschenhaar — HF-Litze ist Pflicht.

Beispiel 2 — Aluminium bei 100 kHz

ρ_Al ≈ 2,82 · 10⁻⁸ Ω·m, f = 10⁵ Hz → ω = 6,28 · 10⁵ rad/s:

δ = √(2 · 2,82 · 10⁻⁸ / (6,28 · 10⁵ · 1,257 · 10⁻⁶))
  = √(5,64 · 10⁻⁸ / 0,789)
  = √(7,15 · 10⁻⁸)
  ≈ 2,67 · 10⁻⁴ m
  ≈ 0,27 mm

Beispiel 3 — Silber bei 1 GHz

ρ_Ag ≈ 1,59 · 10⁻⁸ Ω·m, ω = 6,28 · 10⁹ rad/s:

δ = √(2 · 1,59 · 10⁻⁸ / (6,28 · 10⁹ · 1,257 · 10⁻⁶))
  = √(3,18 · 10⁻⁸ / 7.893)
  = √(4,03 · 10⁻¹²)
  ≈ 2 · 10⁻⁶ m
  ≈ 2 μm

Bei GHz reicht eine dünne Versilberung — der Strom „sieht" nur 2 μm Silber.

Beispiel 4 — Frequenz aus gewünschter Eindringtiefe

Welche Frequenz lässt in Kupfer δ = 1 mm zu?

ω = 2 · ρ / (δ² · μ₀)
  = 2 · 1,68 · 10⁻⁸ / (10⁻⁶ · 1,257 · 10⁻⁶)
  = 3,36 · 10⁻⁸ / 1,257 · 10⁻¹²
  ≈ 2,673 · 10⁴ rad/s
f = ω / (2π)
  ≈ 4.255 Hz

Beispiel 5 — Spezifischer Widerstand aus δ-Messung

In einem Metall wird bei f = 60 kHz (ω ≈ 3,77 · 10⁵ rad/s) δ = 0,3 mm gemessen.

ρ = δ² · ω · μ₀ / 2
  = (3 · 10⁻⁴)² · 3,77 · 10⁵ · 1,257 · 10⁻⁶ / 2
  = 9 · 10⁻⁸ · 3,77 · 10⁵ · 1,257 · 10⁻⁶ / 2
  ≈ 2,13 · 10⁻⁸ Ω·m

Liegt nahe an Aluminium (2,82 · 10⁻⁸) — wahrscheinlich eine Aluminiumlegierung.