Beugungsgitter

Was beschreibt das Beugungsgitter?

Ein optisches Gitter besteht aus sehr vielen parallelen Spalten im Abstand d (der Gitterkonstanten). Trifft monochromatisches Licht auf das Gitter, interferieren die Teilwellen — und es bilden sich auf einem dahinterliegenden Schirm scharfe Hauptmaxima:

d · sin(θ) = n · λ

mit der Beugungsordnung n = 0, 1, 2, … Im Unterschied zum Doppelspalt liefern Gitter durch die hohe Spaltzahl extrem scharfe Maxima — Grundlage jeder Spektroskopie, da unterschiedliche Wellenlängen unter unterschiedlichen Winkeln erscheinen.

Die Formel

d · sin(θ) = n · λ

Umstellungen:
    θ = arcsin(n · λ / d)
    λ = d · sin(θ) / n
    d = n · λ / sin(θ)
    n = d · sin(θ) / λ

Die Gitterkonstante d folgt aus der Strichzahl N pro Meter: d = 1 / N. Ein Gitter mit 600 Strichen/mm hat damit d = 1/(600 · 10³ m⁻¹) ≈ 1,667 µm.

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Gitter mit 500 Strichen/mm, grünes Laserlicht λ = 532 nm. Winkel des 1. Maximums?

d       = 1 / (500·10³)
        = 2,0·10⁻⁶ m
sin(θ)  = 1 · 5,32·10⁻⁷ / 2,0·10⁻⁶
        ≈ 0,266
θ       = arcsin(0,266)
        ≈ 15,4°

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Wellenlänge eines Lasers bestimmen

Ein unbekannter Laser erzeugt am Gitter (1200 Striche/mm) sein 1. Maximum bei θ = 45,6°:

d  = 1 / (1200·10³)
   ≈ 8,333·10⁻⁷ m
λ  = d · sin(θ) / n
   = 8,333·10⁻⁷ · sin(45,6°) / 1
   ≈ 8,333·10⁻⁷ · 0,7145
   ≈ 5,954·10⁻⁷ m
   ≈ 595 nm   (orangegelb)

Spricht für eine Niederdruck-Natriumdampflampe (Na-D-Linien bei 589 nm).

Beispiel 2 — Spektrum sichtbar machen

Sichtbares Licht reicht von etwa 380 nm bis 750 nm. Mit einem 600-Striche/mm-Gitter — wie weit spreizt sich die 1. Ordnung?

d        = 1 / (600·10³)
         ≈ 1,667·10⁻⁶ m
θ(380nm) = arcsin(380·10⁻⁹ / 1,667·10⁻⁶)
         ≈ 13,2°
θ(750nm) = arcsin(750·10⁻⁹ / 1,667·10⁻⁶)
         ≈ 26,7°
Δθ       ≈ 13,5°

Diese saubere räumliche Trennung der Farben macht Gitter zum Herzstück jedes Spektrometers.

Beispiel 3 — Maximale beobachtbare Ordnung

Mit demselben Gitter (600 Striche/mm) und λ = 633 nm — wie viele Ordnungen sind überhaupt sichtbar (|sin θ| ≤ 1)?

n_max = d / λ
      = 1,667·10⁻⁶ / 6,33·10⁻⁷
      ≈ 2,63
⇒ Ordnungen 0, ±1, ±2 sichtbar

Beispiel 4 — Gitterkonstante einer DVD

Eine handelsübliche DVD-Schicht wirkt wie ein Reflexionsgitter mit etwa 1350 Spuren/mm. Beugungswinkel der 1. Ordnung für grünes Licht (λ = 532 nm)?

d       = 1 / (1350·10³)
        ≈ 7,407·10⁻⁷ m
sin(θ)  = 5,32·10⁻⁷ / 7,407·10⁻⁷
        ≈ 0,7183
θ       ≈ 45,9°

Der starke Farbschimmer auf der DVD-Unterseite ist gut sichtbare Beugung in der 1. Ordnung.

Beispiel 5 — Hochauflösendes Echelle-Gitter

Ein astronomisches Echelle-Gitter mit 79 Strichen/mm wird in 30. Ordnung betrieben. Welcher Beugungswinkel für die Hα-Linie (656,3 nm)?

d       = 1 / (79·10³)
        ≈ 1,266·10⁻⁵ m
sin(θ)  = 30 · 6,563·10⁻⁷ / 1,266·10⁻⁵
        ≈ 1,556·10⁻¹

Echelle wird typischerweise schräg beleuchtet —
die Gittergleichung lautet dann
    d·(sin α + sin β) = n · λ.
Vereinfachte Formel hier nicht streng anwendbar.

Hochordnungs-Gitter erreichen sehr feine spektrale Auflösung — ihr Einsatz erfordert allerdings die erweiterte Gittergleichung mit Einfallswinkel α ≠ 0.