Doppler-Effekt (Licht)

Was beschreibt der Doppler-Effekt für Licht?

Bewegen sich Lichtquelle und Beobachter relativ zueinander, ändert sich die beobachtete Frequenz — analog zum akustischen Doppler, jedoch mit relativistischer Korrektur, da Licht in jedem Inertialsystem mit c läuft. Für longitudinale Bewegung gilt:

f' = f · √((1 + v/c) / (1 − v/c))

Positives v bedeutet Annäherung (Blauverschiebung, höhere Frequenz). Negatives v entspricht Entfernung (Rotverschiebung, niedrigere Frequenz). |v| muss kleiner als c sein.

Die Formel

f' = f · √((1 + v/c) / (1 − v/c))

Umstellung:
    f = f' / √((1 + v/c) / (1 − v/c))

c = 299 792 458 m/s
|v| < c

Für Astronomen wird häufig die Rotverschiebung z = (λ' − λ) / λ = f/f' − 1 verwendet. Bei kleinen Geschwindigkeiten (v ≪ c) reduziert sich die Formel auf den klassischen Ausdruck f' ≈ f · (1 + v/c).

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Eine Lichtquelle mit f = 5,0·10¹⁴ Hz nähert sich mit v = 0,10 · c:

β   = 0,10
f'  = 5,0·10¹⁴ · √((1,10)/(0,90))
    = 5,0·10¹⁴ · √(1,2222)
    ≈ 5,0·10¹⁴ · 1,1055
    ≈ 5,528·10¹⁴ Hz

Spürbare Blauverschiebung — sichtbares Grün (~ 600 nm) verschiebt sich Richtung Blau.

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Galaxie-Rotverschiebung

Eine Galaxie entfernt sich mit v = −0,05 · c. Wie verschiebt sich eine ausgesandte Hα-Linie bei f = 4,571·10¹⁴ Hz (λ = 656,3 nm)?

β  = −0,05
f' = 4,571·10¹⁴ · √(0,95 / 1,05)
   = 4,571·10¹⁴ · √(0,9048)
   ≈ 4,571·10¹⁴ · 0,9512
   ≈ 4,348·10¹⁴ Hz

λ' = c / f'
   ≈ 6,895·10⁻⁷ m
   ≈ 689,5 nm

Hα verschiebt sich um etwa 33 nm zum Roten — direkter Hinweis auf die Fluchtbewegung.

Beispiel 2 — Radarfalle der Polizei

Ein Polizeiradar sendet bei f = 24,125 GHz. Ein Auto fährt mit v = 30 m/s auf das Radar zu. Welche Verschiebung erlebt das vom Auto reflektierte Signal (doppelter Doppler)?

β   = 30 / 2,998·10⁸
    ≈ 1,001·10⁻⁷
Δf  ≈ 2 · f · β
    ≈ 2 · 24,125·10⁹ · 1,001·10⁻⁷
    ≈ 4,830·10³ Hz
    ≈ 4,83 kHz

Die wenigen Kilohertz Schwebung lassen sich präzise messen und sofort in die Geschwindigkeit zurückrechnen.

Beispiel 3 — Quasar mit hoher Rotverschiebung

Ein Quasar zeigt eine Lyman-α-Linie (λ₀ = 121,6 nm) bei λ' = 486,4 nm. Welche Fluchtgeschwindigkeit?

z   = (λ' − λ₀) / λ₀
    = (486,4 − 121,6) / 121,6
    = 3,00

Aus 1 + z = √((1 + β)/(1 − β))   bei v = −|v|
⇒ β = ((1+z)² − 1) / ((1+z)² + 1)
    = (16 − 1) / (16 + 1)
    ≈ 0,882
⇒ |v| ≈ 0,882 · c
      ≈ 2,64·10⁸ m/s

Ein klassischer hochrotverschobener Quasar entfernt sich mit fast 90 % der Lichtgeschwindigkeit.

Beispiel 4 — Atomuhr im Satelliten

Auf einem Satelliten in 7,8 km/s Orbitgeschwindigkeit sendet eine Atomuhr bei f = 10,23 MHz. Welche transversale Doppler-Korrektur erfährt der Bodenempfänger? (Hier vereinfachend longitudinal.)

β    = −7800 / 2,998·10⁸
     ≈ −2,602·10⁻⁵
Δf/f ≈ β
     ≈ −2,602·10⁻⁵
Δf   ≈ −266 Hz

GPS-Empfänger korrigieren diese Frequenzdrift kontinuierlich; ohne Korrektur wäre die Position binnen Minuten unbrauchbar.

Beispiel 5 — Spektroskopischer Doppelstern

Ein Doppelstern zeigt periodisch verschobene Linien. Maximale Verschiebung der Hβ-Linie (λ₀ = 486,1 nm): λ' = 486,4 nm. Bahngeschwindigkeit des Sterns?

Δλ/λ ≈ v / c   (für v ≪ c)
v    ≈ c · (λ' − λ₀) / λ₀
     = 2,998·10⁸ · (486,4 − 486,1) / 486,1
     ≈ 2,998·10⁸ · 6,17·10⁻⁴
     ≈ 1,85·10⁵ m/s
     ≈ 185 km/s

Solche Radialgeschwindigkeitsmessungen liefern die Massen sehr vieler bekannter Doppelsternsysteme.