Linsengleichung

Was beschreibt die Linsengleichung?

Eine dünne Sammellinse bildet einen Gegenstand auf die andere Seite der Linse ab. Der Zusammenhang zwischen Brennweite f, Gegenstandsweite g (Abstand Gegenstand → Linse) und Bildweite b (Abstand Linse → Bild) ist:

1 / f = 1 / g + 1 / b

Liegt der Gegenstand jenseits der Brennweite (g > f), entsteht ein reelles, umgekehrtes Bild. Bei g < f wird das Bild virtuell und aufrecht (Lupenbetrieb).

Die Formel

1 / f = 1 / g + 1 / b

Umstellungen:
    f = 1 / (1/g + 1/b)
    g = 1 / (1/f − 1/b)
    b = 1 / (1/f − 1/g)

Vorzeichenkonvention: Für reelle Bilder einer Sammellinse sind f, g und b positiv. Bei Zerstreuungslinsen wird f negativ angesetzt.

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Sammellinse mit f = 0,10 m, Gegenstand bei g = 0,30 m. Wo entsteht das Bild?

1/b = 1/f − 1/g
    = 1/0,10 − 1/0,30
    = 10 − 3,333
    = 6,667 m⁻¹
b   = 1 / 6,667
    ≈ 0,150 m  =  15 cm

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Kamera scharfstellen

Eine Kamera mit f = 50 mm fokussiert auf ein Motiv in 2 m Entfernung. Wie weit muss der Sensor hinter der Linse stehen?

1/b = 1/0,050 − 1/2,0
    = 20 − 0,5
    = 19,5 m⁻¹
b   ≈ 0,0513 m
    ≈ 51,3 mm

Beim Fokussieren in die Ferne (g → ∞) rückt der Sensor exakt in die Brennebene b = f.

Beispiel 2 — Diaprojektor

Ein Projektor mit f = 0,20 m soll ein Dia (g = 0,22 m) auf eine Wand werfen. Bildabstand?

1/b = 1/0,20 − 1/0,22
    = 5,00 − 4,545
    = 0,4545 m⁻¹
b   ≈ 2,20 m

Eine kleine Annäherung an die Brennweite ergibt eine enorme Vergrößerung — typisch für Projektoren.

Beispiel 3 — Brille bestimmen

Eine Brille soll ein virtuelles Bild eines Buchs in 25 cm bei tatsächlicher Schriftentfernung von 50 cm erzeugen. Welche Brennweite (Zerstreuungslinse mit b negativ)?

g = 0,50 m,  b = −0,25 m
1/f = 1/g + 1/b
    = 1/0,50 + 1/(−0,25)
    = 2,00 − 4,00
    = −2,00 m⁻¹
f   = −0,50 m  ⇒  −2,0 dpt

Negative Brechkraft = Brille für Kurzsichtige.

Beispiel 4 — Brennweite vermessen

Bei einer Sammellinse misst man g = 0,40 m und b = 0,60 m. Welche Brennweite?

1/f = 1/0,40 + 1/0,60
    = 2,500 + 1,667
    = 4,167 m⁻¹
f   ≈ 0,240 m
    =  24 cm

Beispiel 5 — Lupe (Gegenstand innerhalb der Brennweite)

Eine Lupe mit f = 0,05 m wird über einen Text in g = 0,03 m gehalten. Wo erscheint das Bild?

1/b = 1/f − 1/g
    = 1/0,05 − 1/0,03
    = 20,00 − 33,33
    = −13,33 m⁻¹
b   ≈ −0,075 m
    = −7,5 cm

Negatives b ⇒ virtuelles, aufrechtes Bild auf derselben Seite wie der Gegenstand — genau das, was eine Lupe macht.