/ Relativitätstheorie

Längenkontraktion

Eine im Ruhesystem gemessene Eigenlänge L erscheint im bewegten System verkürzt: L' = L · √(1 − v²/c²) = L / γ.

Längenkontraktion

01 · Eingabe

Längenkontraktion berechnen

Eine im Ruhesystem gemessene Eigenlänge L erscheint im bewegten System verkürzt: L' = L · √(1 − v²/c²) = L / γ.

Lösen für

L' = L / γ

L Eigenlänge

v Geschwindigkeit

m/s

Was ist Längenkontraktion?

Längenkontraktion bedeutet: Ein Objekt der Eigenlänge L (gemessen im Ruhesystem des Objekts) erscheint im Laborsystem entlang der Bewegungsrichtung verkürzt. Die beobachtete Länge L' ist immer kleiner oder gleich L und ergibt sich durch Division mit dem Lorentzfaktor γ.

Senkrecht zur Bewegungsrichtung bleiben Längen unverändert — Längenkontraktion ist ein rein longitudinaler Effekt.

Die Formel

Formel Längenkontraktion

L' = L · √(1 − v²/c²) = L / γ

Umstellungen:
    L  = L' · γ
    v  = c · √(1 − (L'/L)²)

c = 299.792.458 m/s
γ = 1 / √(1 − v²/c²)

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
L'	Beobachtete Länge	m	Kontrahierte Länge im Laborsystem.
L	Eigenlänge	m	Länge im Ruhesystem des Objekts.
v	Geschwindigkeit	m/s	Relativgeschwindigkeit, betragsmäßig < c.

Minimal-Beispiel

Ein Stab mit Eigenlänge L = 1 m bewegt sich mit v = 0,8 · c längs seiner Achse.

Rechnung Beispiel

γ  = 1 / √(1 − 0,64) ≈ 1,667
L' = L / γ           = 1 m / 1,667
                     ≈ 0,6 m

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Myon aus Sicht der Atmosphäre

Aus Sicht des Myons (v ≈ 0,9994 · c, γ ≈ 28,87) schrumpft die 15-km-Atmosphäre auf eine viel kürzere Strecke zusammen.

Rechnung Myon-Perspektive

L  = 15.000 m
γ  ≈ 28,87
L' = L / γ
   = 15.000 / 28,87
   ≈ 520 m

Im Myon-System ist die Atmosphäre nur ca. 520 m dick — daher reicht die Eigenlebensdauer aus, um die Erde zu erreichen.

Beispiel 2 — Raumschiff bei 0,99 c

Ein 100 m langes Raumschiff fliegt mit v = 0,99 · c an der Erde vorbei.

Rechnung Raumschiff

β² = 0,9801
γ  ≈ 7,089
L' = 100 m / 7,089 ≈ 14,11 m

Beispiel 3 — Protonen-Bunch am LHC

Ein Bunch aus etwa 10¹¹ Protonen hat im Labor eine Länge L' ≈ 7,5 cm. Mit γ ≈ 7.461 ist die Eigenlänge des Bunches:

Rechnung LHC-Bunch

L' = 0,075 m
γ  ≈ 7.461
L  = L' · γ
   = 0,075 · 7.461
   ≈ 559 m

Beispiel 4 — Geschwindigkeit aus Längenmessung

Ein Lineal erscheint nur halb so lang wie in Ruhe (L'/L = 0,5). Welche Geschwindigkeit hat es?

Rechnung v aus L'/L

L'/L = 0,5
v    = c · √(1 − (L'/L)²)
     = c · √(1 − 0,25)
     = c · √0,75
     ≈ 0,8660 · c
     ≈ 2,596 · 10⁸ m/s

Beispiel 5 — Flugzeug

Ein 70 m langes Flugzeug fliegt mit v = 250 m/s.

Rechnung Flugzeug

β²   ≈ 6,95 · 10⁻¹³
L−L' ≈ ½ · β² · L
     ≈ ½ · 6,95 · 10⁻¹³ · 70 m
     ≈ 2,43 · 10⁻¹¹ m

Die Verkürzung liegt weit unterhalb der Größe eines Atomkerns — unbeobachtbar im Alltag.