/ Relativitätstheorie

Lorentzfaktor

Zentrale Größe der speziellen Relativitätstheorie: γ = 1 / √(1 − v²/c²). Für v ≪ c ist γ ≈ 1; für v → c divergiert γ.

Lorentzfaktor

01 · Eingabe

Lorentzfaktor berechnen

Zentrale Größe der speziellen Relativitätstheorie: γ = 1 / √(1 − v²/c²). Für v ≪ c ist γ ≈ 1; für v → c divergiert γ.

Lösen für

γ = 1 / √(1 − v²/c²)

v Geschwindigkeit

m/s

Was ist der Lorentzfaktor?

Der Lorentzfaktor γ („Gamma") ist die zentrale dimensionslose Kenngröße der speziellen Relativitätstheorie. Er beschreibt, wie stark Zeit, Länge, Masse und Energie eines Inertialsystems gegenüber einem ruhenden Beobachter verzerrt werden, wenn sich beide mit der Geschwindigkeit v relativ zueinander bewegen.

Für v ≪ c gilt γ ≈ 1 — die klassische Mechanik ist eine sehr gute Näherung. Erst bei Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit c wächst γ stark an und divergiert für v → c.

Die Formel

Formel Lorentzfaktor

γ = 1 / √(1 − v²/c²)

Umstellung nach v:
    v = c · √(1 − 1/γ²)

c = 299.792.458 m/s (Lichtgeschwindigkeit im Vakuum)

Mit β = v / c lässt sich der Lorentzfaktor kompakt als γ = 1 / √(1 − β²) schreiben.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
γ	Lorentzfaktor	—	Dimensionsloser Faktor, γ ≥ 1.
v	Geschwindigkeit	m/s	Relativgeschwindigkeit, betragsmäßig < c.

Minimal-Beispiel

Ein Objekt bewegt sich mit v = 0,6 · c.

Rechnung Beispiel

β  = v / c        = 0,6
γ  = 1 / √(1 − β²) = 1 / √(1 − 0,36)
                  = 1 / √0,64
                  = 1 / 0,8
                  = 1,25

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — GPS-Satellit

GPS-Satelliten umkreisen die Erde mit rund v ≈ 3.874 m/s. Der Lorentzfaktor ist nur winzig größer als 1, aber genau dieser Bruchteil verursacht eine tägliche Zeitdifferenz, die der GPS-Empfänger korrigieren muss.

Rechnung GPS-Satellit

v   = 3.874 m/s
β   = v / c          ≈ 1,292 · 10⁻⁵
β²                   ≈ 1,669 · 10⁻¹⁰
γ   = 1 / √(1 − β²)  ≈ 1 + 8,35 · 10⁻¹¹

Beispiel 2 — Myon in der Atmosphäre

Kosmische Myonen entstehen in ca. 15 km Höhe und bewegen sich mit v ≈ 0,9994 · c.

Rechnung Myon

β  = 0,9994
β² = 0,99880036
γ  = 1 / √(1 − 0,99880036)
   = 1 / √0,00119964
   ≈ 28,87

Bei diesem γ leben Myonen aus Sicht der Erde rund 29-mal länger und erreichen so überhaupt die Erdoberfläche.

Beispiel 3 — Teilchenbeschleuniger LHC

Protonen am LHC erreichen Energien von ca. 7 TeV. Aus der Ruheenergie m·c² ≈ 938,272 MeV folgt direkt der Lorentzfaktor.

Rechnung LHC-Proton

γ = E / (m · c²)
  = 7 · 10⁶ MeV / 938,272 MeV
  ≈ 7.461

Die Protonen bewegen sich nur noch um etwa 3 m/s langsamer als das Licht.

Beispiel 4 — Raumschiff bei 0,99 c

Ein hypothetisches Raumschiff fliegt mit v = 0,99 · c.

Rechnung Raumschiff

β² = 0,9801
γ  = 1 / √(1 − 0,9801)
   = 1 / √0,0199
   ≈ 7,089

Beispiel 5 — Verkehrsflugzeug

Ein Linienflugzeug fliegt mit v ≈ 250 m/s.

Rechnung Flugzeug

β   = 250 / 299.792.458 ≈ 8,34 · 10⁻⁷
β²                       ≈ 6,95 · 10⁻¹³
γ   ≈ 1 + 3,48 · 10⁻¹³

Der relativistische Effekt ist messbar (Hafele-Keating-Experiment), aber für den Alltag völlig vernachlässigbar.