/ Relativitätstheorie

Relativistische Gesamtenergie

Gesamtenergie eines bewegten Körpers: E = γ · m · c². Enthält die Ruheenergie E₀ = m · c² und die kinetische Energie.

01 · Eingabe

Relativistische Gesamtenergie berechnen

Gesamtenergie eines bewegten Körpers: E = γ · m · c². Enthält die Ruheenergie E₀ = m · c² und die kinetische Energie.

Lösen für

E = γ · m · c²

m Ruhemasse

v Geschwindigkeit

m/s

Was ist die relativistische Gesamtenergie?

Die relativistische Gesamtenergie eines Körpers ist E = γ · m · c². Sie umfasst zwei Anteile:

die Ruheenergie E₀ = m · c² (für v = 0, γ = 1) — Einsteins berühmteste Gleichung,
die kinetische Energie E_kin = (γ − 1) · m · c² (Bewegungsanteil).

Für ruhende Körper liefert die Formel direkt das Massenäquivalent. Bei Kernreaktionen wird ein kleiner Teil der Ruhemasse in andere Energieformen umgewandelt — quantitativ exakt über E₀ = m · c².

Die Formel

Formel Relativistische Gesamtenergie

E = γ · m · c² = m · c² / √(1 − v²/c²)

Umstellung nach m:
    m = E / (γ · c²)

Zerlegung:
    E    = E₀ + E_kin
    E₀   = m · c²            (Ruheenergie)
    E_kin = (γ − 1) · m · c²

c = 299.792.458 m/s
γ = 1 / √(1 − v²/c²)

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
E	Gesamtenergie	J	Relativistische Gesamtenergie.
m	Ruhemasse	kg	Invariante Ruhemasse des Körpers (m > 0).
v	Geschwindigkeit	m/s	Relativgeschwindigkeit, betragsmäßig < c.

Minimal-Beispiel

Ruhemasse m = 1 kg, Geschwindigkeit v = 0,8 · c.

Rechnung Beispiel

γ  = 1 / √(1 − 0,64) ≈ 1,667
c² ≈ 8,988 · 10¹⁶ m²/s²
E  = γ · m · c²
   ≈ 1,667 · 1 · 8,988 · 10¹⁶
   ≈ 1,498 · 10¹⁷ J

Davon entfallen E₀ = m · c² ≈ 8,988 · 10¹⁶ J auf die Ruheenergie und der Rest auf E_kin.

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Ruheenergie eines Elektrons

Ein ruhendes Elektron (m_e = 9,109 · 10⁻³¹ kg, v = 0):

Rechnung Elektron-Ruheenergie

γ  = 1
c² ≈ 8,988 · 10¹⁶ m²/s²
E  = m · c²
   = 9,109 · 10⁻³¹ · 8,988 · 10¹⁶
   ≈ 8,187 · 10⁻¹⁴ J
   ≈ 0,511 MeV

Genau dieser Wert tritt bei Paarvernichtung (e⁺e⁻ → 2 γ) als Energie pro Photon auf.

Beispiel 2 — Proton am LHC

Ein Proton mit γ ≈ 7.461 erreicht eine Gesamtenergie von ca. 7 TeV.

Rechnung LHC-Proton

γ      ≈ 7.461
m · c² ≈ 938,272 MeV
E      = γ · m · c²
       ≈ 7.461 · 938,272 MeV
       ≈ 6,999 · 10⁶ MeV
       ≈ 7,00 TeV

Beispiel 3 — Myon

Myon mit m ≈ 1,884 · 10⁻²⁸ kg und v = 0,9994 · c (γ ≈ 28,87).

Rechnung Myon

γ  ≈ 28,87
c² ≈ 8,988 · 10¹⁶ m²/s²
E  = γ · m · c²
   ≈ 28,87 · 1,884 · 10⁻²⁸ · 8,988 · 10¹⁶
   ≈ 4,89 · 10⁻¹⁰ J
   ≈ 3,05 GeV

Beispiel 4 — Massendefekt bei der Kernfusion

Bei der Fusion 4 ¹H → ⁴He (Sonne) verschwindet pro He-Kern eine Masse Δm ≈ 4,376 · 10⁻²⁹ kg. Die freigesetzte Energie:

Rechnung Sonnen-Fusion

Δm  ≈ 4,376 · 10⁻²⁹ kg
c²  ≈ 8,988 · 10¹⁶ m²/s²
ΔE  = Δm · c²
    ≈ 3,933 · 10⁻¹² J
    ≈ 24,5 MeV

Beispiel 5 — Ruhemasse aus Gesamtenergie und Geschwindigkeit

Ein Teilchen hat E = 1,5 · 10⁻¹⁰ J bei v = 0,95 · c. Wie groß ist die Ruhemasse?

Rechnung m aus E, v

β² = 0,9025
γ  = 1 / √0,0975 ≈ 3,203
c² ≈ 8,988 · 10¹⁶ m²/s²
m  = E / (γ · c²)
   = 1,5 · 10⁻¹⁰ / (3,203 · 8,988 · 10¹⁶)
   ≈ 5,21 · 10⁻²⁸ kg