/ Relativitätstheorie

Relativistische kinetische Energie

Bewegungsenergie bei relativistischen Geschwindigkeiten: E_kin = (γ − 1) · m · c². Für v ≪ c ergibt sich näherungsweise ½ · m · v².

01 · Eingabe

Relativistische kinetische Energie berechnen

Bewegungsenergie bei relativistischen Geschwindigkeiten: E_kin = (γ − 1) · m · c². Für v ≪ c ergibt sich näherungsweise ½ · m · v².

Lösen für

E_kin = (γ − 1) · m · c²

m Ruhemasse

v Geschwindigkeit

m/s

Was ist die relativistische kinetische Energie?

Die relativistische kinetische Energie ist die Differenz zwischen der Gesamtenergie eines bewegten Körpers und seiner Ruheenergie E₀ = m · c²:

E_kin = E − E₀ = (γ − 1) · m · c²

Für v ≪ c entwickelt sich (γ − 1) zu ½ · v²/c², und man erhält den klassischen Ausdruck E_kin ≈ ½ · m · v². Für relativistische Geschwindigkeiten wächst E_kin jedoch deutlich stärker als der Newtonsche Wert.

Die Formel

Formel Relativistische kinetische Energie

E_kin = (γ − 1) · m · c²

Umstellung nach m:
    m = E_kin / ((γ − 1) · c²)

c = 299.792.458 m/s
γ = 1 / √(1 − v²/c²)

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
E_kin	Kinetische Energie	J	Relativistische Bewegungsenergie.
m	Ruhemasse	kg	Invariante Ruhemasse des Körpers (m > 0).
v	Geschwindigkeit	m/s	Relativgeschwindigkeit, betragsmäßig < c.

Minimal-Beispiel

Ein Körper mit m = 1 kg bewegt sich mit v = 0,6 · c.

Rechnung Beispiel

γ      = 1 / √(1 − 0,36) = 1,25
c²     ≈ 8,988 · 10¹⁶ m²/s²
E_kin  = (γ − 1) · m · c²
       = 0,25 · 1 · 8,988 · 10¹⁶
       ≈ 2,247 · 10¹⁶ J

Zum Vergleich: Klassisch ergäbe ½ · m · v² ≈ 1,618 · 10¹⁶ J — relativistisch fast 39 % mehr.

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Proton am LHC

LHC-Protonen erreichen γ ≈ 7.461. Mit m_p · c² ≈ 938,272 MeV folgt direkt die kinetische Energie.

Rechnung LHC-Proton

γ      ≈ 7.461
m · c² ≈ 938,272 MeV
E_kin  = (γ − 1) · m · c²
       ≈ 7.460 · 938,272 MeV
       ≈ 6,998 · 10⁶ MeV
       ≈ 7,00 TeV

Beispiel 2 — Elektron im SLAC-Linearbeschleuniger

Elektronen am SLAC erreichen E_kin ≈ 50 GeV; mit m_e · c² ≈ 0,511 MeV ergibt sich γ und damit v.

Rechnung SLAC-Elektron

E_kin  = 50 · 10³ MeV
m · c² = 0,511 MeV
γ − 1  = E_kin / (m · c²) ≈ 97.847
γ      ≈ 97.848
v      = c · √(1 − 1/γ²) ≈ 0,99999999995 · c

Beispiel 3 — Myon mit γ = 28,87

Myon, m ≈ 1,884 · 10⁻²⁸ kg, v ≈ 0,9994 · c.

Rechnung Myon

γ      ≈ 28,87
c²     ≈ 8,988 · 10¹⁶ m²/s²
E_kin  = (γ − 1) · m · c²
       ≈ 27,87 · 1,884 · 10⁻²⁸ · 8,988 · 10¹⁶
       ≈ 4,72 · 10⁻¹⁰ J
       ≈ 2,95 GeV

Beispiel 4 — Klassischer Grenzfall

Auto mit m = 1.500 kg, v = 30 m/s.

Rechnung Auto

γ − 1   ≈ ½ · β² = ½ · 1 · 10⁻¹⁴
E_kin   ≈ ½ · m · v²
        = ½ · 1.500 · 900
        = 675.000 J
        = 675 kJ

Bei Alltagsgeschwindigkeiten ist die relativistische Formel praktisch identisch mit der klassischen.

Beispiel 5 — Ruhemasse aus E_kin und v

Ein Teilchen hat E_kin = 1 · 10⁻¹⁰ J bei v = 0,9 · c. Ruhemasse?

Rechnung m aus E_kin, v

β²     = 0,81
γ      = 1 / √0,19 ≈ 2,294
c²     ≈ 8,988 · 10¹⁶ m²/s²
m      = E_kin / ((γ − 1) · c²)
       = 1 · 10⁻¹⁰ / (1,294 · 8,988 · 10¹⁶)
       ≈ 8,60 · 10⁻²⁸ kg