/ Relativitätstheorie

Relativistischer Impuls

Verallgemeinerung des klassischen Impulses für Geschwindigkeiten nahe c: p = γ · m · v mit Ruhemasse m.

01 · Eingabe

Relativistischer Impuls berechnen

Verallgemeinerung des klassischen Impulses für Geschwindigkeiten nahe c: p = γ · m · v mit Ruhemasse m.

Lösen für

p = γ · m · v

m Ruhemasse

v Geschwindigkeit

m/s

Was ist der relativistische Impuls?

Der relativistische Impuls verallgemeinert den klassischen Impuls p = m · v auf Geschwindigkeiten, bei denen der Lorentzfaktor γ nicht mehr vernachlässigt werden kann. Nur diese Definition bleibt unter Lorentz-Transformationen erhalten — der klassische Ausdruck wäre nicht mehr erhaltungsgrößentauglich.

Für v ≪ c geht p = γ · m · v in den Newtonschen Grenzfall p ≈ m · v über. Für v → c divergiert der Impuls: Es gibt keine endliche Kraft, die ein massives Objekt auf Lichtgeschwindigkeit bringen kann.

Die Formel

Formel Relativistischer Impuls

p = γ · m · v = m · v / √(1 − v²/c²)

Umstellung nach m:
    m = p / (γ · v)

c = 299.792.458 m/s
γ = 1 / √(1 − v²/c²)

m ist die Ruhemasse — eine invariante, beobachterunabhängige Eigenschaft des Körpers.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
p	Impuls	kg·m/s	Relativistischer Impuls (Betrag).
m	Ruhemasse	kg	Invariante Ruhemasse des Körpers (m > 0).
v	Geschwindigkeit	m/s	Relativgeschwindigkeit, betragsmäßig < c.

Minimal-Beispiel

Ein Körper mit Ruhemasse m = 1 kg bewegt sich mit v = 0,6 · c.

Rechnung Beispiel

γ  = 1 / √(1 − 0,36) = 1,25
v  = 0,6 · c         ≈ 1,799 · 10⁸ m/s
p  = γ · m · v
   = 1,25 · 1 · 1,799 · 10⁸
   ≈ 2,248 · 10⁸ kg·m/s

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Proton am LHC

Ein Proton (m ≈ 1,6726 · 10⁻²⁷ kg) erreicht γ ≈ 7.461. v liegt extrem nahe an c.

Rechnung LHC-Proton

m  = 1,6726 · 10⁻²⁷ kg
γ  ≈ 7.461
v  ≈ c = 2,998 · 10⁸ m/s
p  = γ · m · v
   ≈ 7.461 · 1,6726 · 10⁻²⁷ · 2,998 · 10⁸
   ≈ 3,742 · 10⁻¹⁵ kg·m/s

Beispiel 2 — Elektron in einer Bildröhre

In einer historischen TV-Bildröhre erreichten Elektronen ca. v = 0,3 · c.

Rechnung Elektron

m  = 9,109 · 10⁻³¹ kg
β² = 0,09
γ  = 1 / √0,91 ≈ 1,048
v  ≈ 8,994 · 10⁷ m/s
p  = γ · m · v
   ≈ 1,048 · 9,109 · 10⁻³¹ · 8,994 · 10⁷
   ≈ 8,59 · 10⁻²³ kg·m/s

Der klassische Wert m · v wäre ca. 4,6 % kleiner — schon hier ist die relativistische Korrektur messbar.

Beispiel 3 — Myon bei 0,9994 c

Ein kosmisches Myon (m ≈ 1,884 · 10⁻²⁸ kg).

Rechnung Myon

γ  ≈ 28,87
v  ≈ 0,9994 · c ≈ 2,996 · 10⁸ m/s
p  = γ · m · v
   ≈ 28,87 · 1,884 · 10⁻²⁸ · 2,996 · 10⁸
   ≈ 1,629 · 10⁻¹⁸ kg·m/s

Beispiel 4 — Klassischer Grenzfall: Auto

Auto mit m = 1.500 kg, v = 30 m/s.

Rechnung Auto

β² ≈ 1 · 10⁻¹⁴
γ  ≈ 1   (auf 14 Nachkommastellen genau)
p  ≈ m · v = 1.500 · 30 = 45.000 kg·m/s

Beispiel 5 — Ruhemasse aus Impuls und Geschwindigkeit

Ein Teilchen hat p = 5 · 10⁻¹⁹ kg·m/s bei v = 0,8 · c. Wie groß ist die Ruhemasse?

Rechnung m aus p, v

γ  = 1 / √(1 − 0,64) ≈ 1,667
v  = 0,8 · c          ≈ 2,398 · 10⁸ m/s
m  = p / (γ · v)
   = 5 · 10⁻¹⁹ / (1,667 · 2,398 · 10⁸)
   ≈ 1,251 · 10⁻²⁷ kg