/ Relativitätstheorie

Zeitdilatation

Eine im Ruhesystem gemessene Eigenzeit Δt wird im bewegten System zu Δt' = γ · Δt gedehnt. Grundlage z. B. für GPS-Zeitkorrekturen und Myonenzerfall.

Zeitdilatation

01 · Eingabe

Zeitdilatation berechnen

Eine im Ruhesystem gemessene Eigenzeit Δt wird im bewegten System zu Δt' = γ · Δt gedehnt. Grundlage z. B. für GPS-Zeitkorrekturen und Myonenzerfall.

Lösen für

Δt' = γ · Δt

dt Eigenzeit

v Geschwindigkeit

m/s

Was ist Zeitdilatation?

Zeitdilatation bedeutet: Bewegte Uhren gehen aus Sicht eines ruhenden Beobachters langsamer. Eine im Ruhesystem gemessene Eigenzeit Δt erscheint im bewegten System um den Lorentzfaktor γ gestreckt — die beobachtete Zeit Δt' ist immer ≥ Δt.

Der Effekt ist eine direkte Folge der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit und wurde u. a. bei Myonen, Atomuhren in Flugzeugen und in der GPS-Technik vielfach bestätigt.

Die Formel

Formel Zeitdilatation

Δt' = Δt / √(1 − v²/c²) = γ · Δt

Umstellungen:
    Δt  = Δt' / γ
    v   = c · √(1 − (Δt/Δt')²)

c = 299.792.458 m/s
γ = 1 / √(1 − v²/c²)

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
Δt'	Beobachtete Zeit	s	Dilatierte Zeitspanne im bewegten System.
Δt	Eigenzeit	s	Zeitspanne, gemessen im Ruhesystem.
v	Geschwindigkeit	m/s	Relativgeschwindigkeit, betragsmäßig < c.

Minimal-Beispiel

Eine Eigenzeit Δt = 1 s wird in einem System mit v = 0,8 · c beobachtet.

Rechnung Beispiel

β  = 0,8
γ  = 1 / √(1 − 0,64) = 1 / √0,36 = 1 / 0,6 ≈ 1,667
Δt' = γ · Δt = 1,667 · 1 s ≈ 1,667 s

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Myonenzerfall in der Atmosphäre

Myonen haben eine mittlere Eigenlebensdauer Δt = 2,197 µs. Bei v ≈ 0,9994 · c (γ ≈ 28,87) lebt ein Myon im Erdsystem deutlich länger.

Rechnung Myon

Δt   = 2,197 · 10⁻⁶ s
γ    ≈ 28,87
Δt'  = γ · Δt
     ≈ 28,87 · 2,197 · 10⁻⁶ s
     ≈ 6,34 · 10⁻⁵ s
Strecke = v · Δt' ≈ 0,9994 · c · 6,34 · 10⁻⁵ s
                  ≈ 19,0 km

Erst durch Zeitdilatation schaffen es Myonen aus ca. 15 km Höhe bis zur Erdoberfläche.

Beispiel 2 — GPS-Atomuhren

GPS-Satelliten bewegen sich mit ca. 3.874 m/s relativ zur Erde. Pro Tag (86.400 s Eigenzeit) ergibt das eine SRT-Verzögerung der Bord-Uhr.

Rechnung GPS-Tag

γ − 1 ≈ 8,35 · 10⁻¹¹
ΔT    = (γ − 1) · 86.400 s
      ≈ 7,2 · 10⁻⁶ s
      ≈ 7,2 µs / Tag

(Hinzu kommt der gegenläufige gravitative Effekt der ART; beide werden in der GPS-Firmware korrigiert.)

Beispiel 3 — Linearbeschleuniger SLAC

Elektronen aus dem SLAC erreichten γ ≈ 100.000. Ein Eigenzeit-Intervall von 1 ns würde im Laborsystem 100 µs dauern.

Rechnung SLAC

Δt   = 1 · 10⁻⁹ s
γ    = 1 · 10⁵
Δt'  = γ · Δt = 1 · 10⁻⁴ s = 100 µs

Beispiel 4 — Zwillingsexperiment, ein Jahr Bordzeit

Astronautin reist mit v = 0,95 · c und altert während 1 Jahr Bordzeit. Wie viel Zeit vergeht auf der Erde?

Rechnung Zwillinge

β² = 0,9025
γ  = 1 / √(1 − 0,9025) = 1 / √0,0975 ≈ 3,203
Δt' = γ · Δt = 3,203 · 1 a ≈ 3,20 Jahre auf der Erde

Beispiel 5 — Geschwindigkeit aus beobachteter Lebensdauer

Ein Teilchen lebt im Labor 10-mal länger als seine Eigenlebensdauer (Δt'/Δt = 10). Geschwindigkeit?

Rechnung v aus γ

γ  = Δt'/Δt = 10
v  = c · √(1 − 1/γ²)
   = c · √(1 − 0,01)
   = c · √0,99
   ≈ 0,99499 · c
   ≈ 2,983 · 10⁸ m/s