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Federpendel — Periodendauer

Schwingungsdauer eines Federschwingers: T = 2π · √(m / k). Hängt nur von Masse und Federkonstante ab, nicht von der Amplitude.

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Federpendel — Periodendauer berechnen

Schwingungsdauer eines Federschwingers: T = 2π · √(m / k). Hängt nur von Masse und Federkonstante ab, nicht von der Amplitude.

Lösen für

T = 2π · √(m / k)

m Masse

k Federkonstante

N/m

Was ist ein Federpendel?

Ein Federschwinger (auch Federpendel) ist eine Masse m, die an einer Feder mit Federkonstante k hängt oder gleitet. Lenkt man sie aus der Ruhelage aus, treibt das Hookesche Gesetz F = −k · x sie zurück. Das Ergebnis ist eine harmonische Schwingung mit konstanter Periode:

T = 2π · √(m / k)

Anders als beim Fadenpendel spielt die Erdbeschleunigung keine Rolle — ein Federschwinger schwingt im Weltraum genauso schnell wie im Labor. Reines Hooke-Verhalten vorausgesetzt, hängt T auch nicht von der Amplitude ab.

Die Formel

Formel Federpendel

T = 2π · √(m / k)

Aufgelöst:
    T = 2π · √(m / k)
    m = k · (T / (2π))²
    k = m · (2π / T)²

Die Federkonstante k wird in N/m angegeben (Kraft pro Längenänderung), die Masse m in kg. Die Wurzel m/k hat dann die Einheit Sekunde.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
T	Periodendauer	s	Dauer einer vollständigen Schwingung.
m	Masse	kg	Schwingende Masse am Federende.
k	Federkonstante	N/m	Federsteifigkeit — wie viel Kraft pro Meter Auslenkung.

Minimal-Beispiel

Masse m = 0,5 kg an Feder mit k = 200 N/m:

Rechnung m = 0,5 kg, k = 200 N/m

T = 2π · √(0,5 / 200)
  = 2π · √(0,0025)
  = 2π · 0,05
  ≈ 0,3142 s

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Stoßdämpfer-Modell

Ein vereinfachtes Autorad-Modell hat m = 350 kg (Viertelfahrzeug) und k = 35.000 N/m. Schwingungsperiode der Karosserie:

Rechnung Auto-Federung

T = 2π · √(350 / 35.000)
  = 2π · √(0,01)
  = 2π · 0,1
  ≈ 0,628 s

Eine reale Federung hat zusätzlich Dämpfer; die Eigenfrequenz von ca. 1,6 Hz ist aber ein typischer Komfort-Wert für PKW.

Beispiel 2 — Küchenwaage als Federwaage

Eine federbasierte Küchenwaage hat k = 250 N/m. Wie schnell schwingt eine 500-g-Packung auf der Waage, bevor sie zur Ruhe kommt?

Rechnung Küchenwaage

T = 2π · √(0,5 / 250)
  = 2π · √(0,002)
  ≈ 2π · 0,04472
  ≈ 0,281 s

Beispiel 3 — Quarz-Stimmgabeluhr

In einer Uhr schwingt ein Stimmgabel-Quarz mit f = 32.768 Hz, also T ≈ 30,5 μs. Welche „effektive" Massen-zu-Federkonstanten-Relation entspricht das?

Rechnung Quarz-Resonator

T = 1 / 32.768 ≈ 30,52 μs
m / k = (T / (2π))²
      = (4,857 · 10⁻⁶)²
      ≈ 2,36 · 10⁻¹¹ s²

Bei einer typischen Quarz-Masse m ≈ 5 · 10⁻⁷ kg ergibt das k ≈ 21.000 N/m — sehr steif für seine Größe.

Beispiel 4 — Bungee-Seil

Ein Bungee-Seil verhält sich näherungsweise als Feder mit k = 80 N/m. Eine Person mit m = 75 kg schwingt im Anschluss an den Fall:

Rechnung Bungee

T = 2π · √(75 / 80)
  = 2π · √(0,9375)
  ≈ 2π · 0,9683
  ≈ 6,084 s

Gut sechs Sekunden pro Schwingung — passt zum gefühlten Rhythmus eines Bungee-Sprungs.