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Gedämpfte Schwingung

Auslenkung einer gedämpften Schwingung: x(t) = A · e^(−δ · t) · sin(ω · t). Der Faktor e^(−δ · t) beschreibt den exponentiellen Amplituden-Abfall.

01 · Eingabe

Gedämpfte Schwingung berechnen

Auslenkung einer gedämpften Schwingung: x(t) = A · e^(−δ · t) · sin(ω · t). Der Faktor e^(−δ · t) beschreibt den exponentiellen Amplituden-Abfall.

Lösen für

x = A · e^(−δ · t) · sin(ω · t)

A Anfangsamplitude

delta Abklingkoeffizient

1/s

omega Kreisfrequenz

rad/s

t Zeit

Was ist eine gedämpfte Schwingung?

In jeder realen Schwingung gibt es Reibung — Luftwiderstand, innere Reibung im Material, ohmscher Widerstand im Schwingkreis. Die Amplitude nimmt dadurch exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird zum Produkt aus exponentieller Hüllkurve und Sinus:

x(t) = A · e^(−δ · t) · sin(ω · t)

Der Abklingkoeffizient δ (Einheit 1/s) bestimmt, wie schnell die Schwingung abklingt. Nach der Zeit τ = 1/δ ist die Amplitude auf den 1/e-Anteil (≈ 36,8 %) gefallen.

Die Formel

Formel Gedämpfte Schwingung

x(t) = A · e^(−δ · t) · sin(ω · t)

Aufgelöst:
    x = A · e^(−δ · t) · sin(ω · t)
    A = x / (e^(−δ · t) · sin(ω · t))

Voraussetzung: schwache Dämpfung mit δ < ω, sonst geht das System in den aperiodischen Grenzfall oder Kriechfall über und schwingt gar nicht mehr.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
x	Auslenkung	m	Momentane Auslenkung zum Zeitpunkt t.
A	Anfangsamplitude	m	Amplitude bei t = 0 (vor Beginn der Dämpfung).
δ	Abklingkoeffizient	1/s	Dämpfungskonstante; je größer, desto schneller klingt ab.
ω	Kreisfrequenz	rad/s	Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung.
t	Zeit	s	Zeit seit Schwingungsbeginn.

Minimal-Beispiel

A = 1 m, δ = 0,5 1/s, ω = 4 rad/s, t = 1 s:

Rechnung t = 1 s

x = 1 · e^(−0,5 · 1) · sin(4 · 1)
  = 1 · 0,6065 · sin(4)
  ≈ 0,6065 · (−0,7568)
  ≈ −0,459 m

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Klavierseite klingt aus

Eine angeschlagene Klavierseite startet mit A = 2 mm bei f = 261,6 Hz (c¹) und hat einen Abklingkoeffizienten δ = 1,2 1/s. Auslenkung nach 2 s:

Rechnung Klavierseite

ω = 2π · 261,6 ≈ 1.643,7 rad/s
x = 0,002 · e^(−1,2 · 2) · sin(1.643,7 · 2)
  ≈ 0,002 · 0,0907 · sin(3.287,4)
  ≈ 0,002 · 0,0907 · 0,1568
  ≈ 2,8 · 10⁻⁵ m

Die Hüllkurve ist nach 2 s auf gut 9 % gefallen — das passt zur Erfahrung, dass eine Klavierseite mehrere Sekunden hörbar bleibt.

Beispiel 2 — Stoßdämpfer im Auto

Ein Auto-Stoßdämpfer reagiert auf ein Schlagloch mit Anfangsamplitude A = 0,08 m, ω = 8 rad/s, δ = 2 1/s. Restauslenkung nach t = 0,4 s:

Rechnung Stoßdämpfer

x = 0,08 · e^(−2 · 0,4) · sin(8 · 0,4)
  = 0,08 · 0,4493 · sin(3,2)
  ≈ 0,08 · 0,4493 · (−0,0584)
  ≈ −0,0021 m

Nach 0,4 s ist die Karosserie auf etwa 2 mm Restschwankung gedämpft.

Beispiel 3 — Anfangsamplitude rückrechnen

Bei einer gedämpften Schwingung mit δ = 0,3 1/s und ω = 5 rad/s wurde bei t = 0,5 s eine Auslenkung x = 0,04 m gemessen. Wie groß war die Anfangsamplitude?

Rechnung A bestimmen

A = x / (e^(−δ · t) · sin(ω · t))
  = 0,04 / (e^(−0,15) · sin(2,5))
  = 0,04 / (0,8607 · 0,5985)
  ≈ 0,04 / 0,5151
  ≈ 0,0777 m

Beispiel 4 — Schwingkreis mit ohmschem Widerstand

Ein realer LC-Schwingkreis mit Widerstand R verhält sich wie ein gedämpfter Oszillator. Mit A = 5 V, δ = 80 1/s und ω = 6.300 rad/s ergibt sich nach t = 5 ms:

Rechnung RLC-Kreis

x = 5 · e^(−80 · 0,005) · sin(6.300 · 0,005)
  = 5 · e^(−0,4) · sin(31,5)
  ≈ 5 · 0,6703 · 0,2999
  ≈ 1,005 V