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Harmonische Schwingung

Auslenkung einer ungedämpften harmonischen Schwingung zum Zeitpunkt t: x(t) = A · sin(ω · t + φ).

01 · Eingabe

Harmonische Schwingung berechnen

Auslenkung einer ungedämpften harmonischen Schwingung zum Zeitpunkt t: x(t) = A · sin(ω · t + φ).

Lösen für

x = A · sin(ω · t + φ)

A Amplitude

omega Kreisfrequenz

rad/s

t Zeit

phi Phasenwinkel

rad

Was ist eine harmonische Schwingung?

Eine harmonische Schwingung ist die einfachste periodische Bewegung: Die rücktreibende Kraft ist linear zur Auslenkung, der Verlauf folgt exakt einer Sinus-Funktion. Federpendel mit kleiner Auslenkung, Stimmgabeln und ideale LC-Schwingkreise schwingen harmonisch.

Die Auslenkung x(t) zur Zeit t lautet:

x(t) = A · sin(ω · t + φ)

A ist die maximale Auslenkung (Amplitude), ω die Kreisfrequenz und φ die Anfangsphase — also die Position der Schwingung zum Zeitpunkt t = 0.

Die Formel

Formel Harmonische Schwingung

x(t) = A · sin(ω · t + φ)

Aufgelöst:
    x = A · sin(ω · t + φ)
    A = x / sin(ω · t + φ)

Kreisfrequenz und Periodendauer hängen über ω = 2π / T = 2π · f zusammen. Winkel werden im Bogenmaß angegeben — Math.sin rechnet direkt in Radiant.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
x	Auslenkung	m	Momentane Position der schwingenden Masse zum Zeitpunkt t.
A	Amplitude	m	Maximale Auslenkung aus der Ruhelage.
ω	Kreisfrequenz	rad/s	ω = 2π · f, beschreibt die Winkelgeschwindigkeit.
t	Zeit	s	Zeit seit Beginn der Schwingung.
φ	Phasenwinkel	rad	Anfangsphase bei t = 0 (im Bogenmaß).

Minimal-Beispiel

Eine Feder schwingt mit A = 0,05 m, ω = 10 rad/s, φ = 0. Auslenkung bei t = 0,2 s:

Rechnung t = 0,2 s

x = 0,05 · sin(10 · 0,2 + 0)
  = 0,05 · sin(2)
  ≈ 0,05 · 0,9093
  ≈ 0,0455 m

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Stimmgabel a' (440 Hz)

Eine Stimmgabel schwingt mit f = 440 Hz und Amplitude A = 0,2 mm. Position der Zinkenspitze nach 1 ms (φ = 0):

Rechnung Stimmgabel

ω = 2π · 440 ≈ 2.764,6 rad/s
x = 0,0002 · sin(2.764,6 · 0,001)
  = 0,0002 · sin(2,7646)
  ≈ 0,0002 · 0,3624
  ≈ 7,2 · 10⁻⁵ m   (≈ 0,072 mm)

Beispiel 2 — Federpendel im Labor

Ein Federpendel mit ω = 6,28 rad/s (also f = 1 Hz) und A = 0,1 m wird in der Maximallage losgelassen. Mit φ = π/2 startet die Schwingung im Maximum. Auslenkung nach t = 0,75 s:

Rechnung Federpendel

x = 0,1 · sin(6,28 · 0,75 + π/2)
  = 0,1 · sin(4,71 + 1,5708)
  ≈ 0,1 · sin(6,2808)
  ≈ 0,1 · (−0,0024)
  ≈ −0,00024 m

Nach 0,75 s ist das Pendel fast wieder am Nulldurchgang — drei Viertel einer Periode T = 1 s sind vergangen.

Beispiel 3 — Amplitude rückrechnen

Bei einer Schwingung mit ω = 50 rad/s und φ = 0 wurde zum Zeitpunkt t = 0,025 s eine Auslenkung von x = 0,018 m gemessen. Welche Amplitude hat die Schwingung?

Rechnung Amplitude

A = x / sin(ω · t + φ)
  = 0,018 / sin(50 · 0,025)
  = 0,018 / sin(1,25)
  ≈ 0,018 / 0,9490
  ≈ 0,01897 m   (≈ 19 mm)

Beispiel 4 — Wechselspannung als harmonische Schwingung

Eine Steckdose liefert U(t) = 325 · sin(2π · 50 · t) V (Scheitelwert 325 V, 50 Hz). Spannungswert nach 2 ms:

Rechnung Netzspannung

U = 325 · sin(2π · 50 · 0,002)
  = 325 · sin(0,6283)
  ≈ 325 · 0,5878
  ≈ 191 V