/ Thermodynamik

Carnot-Wirkungsgrad

Maximal möglicher Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine zwischen zwei Temperaturreservoirs: η_C = 1 − T_k / T_w (Temperaturen in Kelvin).

Carnot-Wirkungsgrad

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Carnot-Wirkungsgrad berechnen

Maximal möglicher Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine zwischen zwei Temperaturreservoirs: η_C = 1 − T_k / T_w (Temperaturen in Kelvin).

Lösen für

η_C = 1 − T_k / T_w

Tk Kalte Temperatur

Tw Warme Temperatur

Was ist der Carnot-Wirkungsgrad?

Der Carnot-Wirkungsgrad ist die theoretische Obergrenze des Wirkungsgrades jeder Wärmekraftmaschine, die zwischen zwei Wärmereservoirs mit den absoluten Temperaturen T_w (warm) und T_k (kalt) arbeitet. Kein realer Prozess kann diese Grenze überschreiten — der zweite Hauptsatz der Thermodynamik.

Reale Maschinen erreichen typisch 40–70 % des Carnot-Wirkungsgrades aufgrund von Reibung, Wärmeleckagen und Nicht-Idealitäten.

Die Formel

Formel Carnot-Wirkungsgrad

η_C = 1 − T_k / T_w

Umstellungen:
    T_k = T_w · (1 − η_C)
    T_w = T_k / (1 − η_C)

Wichtig: Temperaturen IMMER in Kelvin einsetzen. Eine Differenz in °C statt K wäre falsch, da Verhältnisse genommen werden.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
η_C	Carnot-Wirkungsgrad	-	Dimensionslos, 0 ≤ η_C < 1.
T_k	Kalte Temperatur	K	Reservoir, an das Wärme abgegeben wird.
T_w	Warme Temperatur	K	Reservoir, von dem Wärme aufgenommen wird.

Minimal-Beispiel

Eine Dampfturbine arbeitet zwischen 550 °C (Frischdampf) und 30 °C (Kondensator).

Rechnung Beispiel

T_w = 823,15 K,  T_k = 303,15 K
η_C = 1 − 303,15 / 823,15
    ≈ 0,632
    ≈ 63,2 %

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Otto-Motor

Ein Ottomotor verbrennt bei rund 2000 °C, die Abgase verlassen ihn bei etwa 800 °C.

Rechnung Ottomotor

T_w = 2273,15 K,  T_k = 1073,15 K
η_C = 1 − 1073,15 / 2273,15
    ≈ 0,528
    ≈ 52,8 %  (theoretisches Maximum)

Real erreicht ein Ottomotor 25–35 % — Carnot ist die Obergrenze, nicht der Realwert.

Beispiel 2 — Wärmepumpe (umgekehrt: Leistungszahl)

Eine Wärmepumpe arbeitet zwischen 0 °C (Außenluft, T_k = 273,15 K) und 45 °C (Heizungsvorlauf, T_w = 318,15 K). Carnot-Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine im gleichen Bereich:

Rechnung Wärmepumpe

η_C = 1 − 273,15 / 318,15
    ≈ 0,1415
    ≈ 14,15 %

Carnot-Leistungszahl (COP_C, Heizen) = T_w / (T_w − T_k)
                                      = 318,15 / 45
                                      ≈ 7,07

Beispiel 3 — Geothermie-Niedertemperatur-ORC

Eine ORC-Anlage nutzt 120 °C Tiefenwasser und kondensiert bei 30 °C.

Rechnung ORC-Anlage

T_w = 393,15 K,  T_k = 303,15 K
η_C = 1 − 303,15 / 393,15
    ≈ 0,229
    ≈ 22,9 %

Real liegen ORCs bei 8–12 %.

Beispiel 4 — Solarthermisches Kraftwerk

Ein Parabolrinnen-Kraftwerk arbeitet zwischen 400 °C (Thermalöl) und 35 °C (Kühlkreis).

Rechnung Solar-Kraftwerk

T_w = 673,15 K,  T_k = 308,15 K
η_C = 1 − 308,15 / 673,15
    ≈ 0,542
    ≈ 54,2 %

Beispiel 5 — Klimaanlage: gewünschte Kondensationstemperatur

Eine Klimaanlage soll mindestens 60 % Carnot erreichen, kondensiert bei 35 °C. Welche maximale Verdampfungstemperatur (T_k) ist dafür zulässig?

Rechnung Verdampfungstemperatur

η_C = 0,60   T_w = 308,15 K
T_k = T_w · (1 − η_C)
    = 308,15 · 0,40
    ≈ 123,26 K
    ≈ −149,89 °C

Das zeigt: 60 % Carnot bei +35 °C ist praktisch unerreichbar — typische Klima-COPs liegen weit darunter.