Beugung am Doppelspalt

Was beschreibt das Doppelspalt-Experiment?

Im klassischen Young-Versuch trifft kohärentes Licht auf zwei eng nebeneinander liegende Spalte mit Abstand d. Die beiden Spalte wirken als Sekundärquellen — auf dem Schirm überlagern sich die Wellen konstruktiv (helle Maxima) bzw. destruktiv (dunkle Streifen). Maxima liegen bei:

d · sin(θ) = m · λ mit m = 0, 1, 2, …

Der wichtigste historische Versuch zum Nachweis der Wellennatur des Lichts — und gleichzeitig zentraler Aufhänger der Quantenmechanik, wenn man Photonen einzeln durch den Spalt schickt.

Die Formel

d · sin(θ) = m · λ

Umstellungen:
    θ = arcsin(m · λ / d)
    λ = d · sin(θ) / m
    d = m · λ / sin(θ)
    m = d · sin(θ) / λ

Das 0. Maximum liegt zentral bei θ = 0. Der Abstand zweier benachbarter Maxima (kleine Winkel) auf einem Schirm in Entfernung D beträgt näherungsweise Δy ≈ λ · D / d — diese Form taucht oft in Aufgaben auf.

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Roter Laser (λ = 650 nm), d = 0,1 mm, 1. Maximum:

sin(θ) = 1 · 650·10⁻⁹ / 1,0·10⁻⁴
       = 6,5·10⁻³
θ      ≈ 0,372°

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Young-Versuch im Schülerlabor

He-Ne-Laser (λ = 633 nm), Spaltabstand d = 0,25 mm, Schirm 2 m entfernt. Wie weit liegen 0. und 1. Maximum auseinander?

Δy ≈ λ · D / d
    = 633·10⁻⁹ · 2 / 2,5·10⁻⁴
    ≈ 5,06·10⁻³ m
    ≈ 5,06 mm

Beispiel 2 — Spaltabstand aus Streifenabstand

Bei λ = 532 nm (grüner Laser) ist der Streifenabstand 4,0 mm auf einem 1,5 m entfernten Schirm.

d ≈ λ · D / Δy
  = 532·10⁻⁹ · 1,5 / 4·10⁻³
  ≈ 1,995·10⁻⁴ m
  ≈ 0,20 mm

Beispiel 3 — Welche Ordnungen sind sichtbar?

λ = 633 nm, d = 1 µm. Bis zu welcher Ordnung sind Maxima physikalisch möglich?

m_max = d / λ
      = 1·10⁻⁶ / 6,33·10⁻⁷
      ≈ 1,58
⇒ m = 0, ±1 sichtbar

Bei eng beieinanderliegenden Spalten verschwinden die höheren Ordnungen.

Beispiel 4 — Mehrfarben­interferenz

Weißlicht trifft auf einen Doppelspalt mit d = 0,3 mm. Wo liegen die 1. Maxima von rot (650 nm) und blau (450 nm) auf einem 1,5 m entfernten Schirm?

y(rot)  ≈ 650·10⁻⁹ · 1,5 / 3·10⁻⁴ ≈ 3,25 mm
y(blau) ≈ 450·10⁻⁹ · 1,5 / 3·10⁻⁴ ≈ 2,25 mm
Differenz ≈ 1 mm

So zerlegt der Doppelspalt das Weißlicht in seine spektralen Anteile.

Beispiel 5 — Wellenlänge unbekannter Laser

In einem Versuch mit d = 0,1 mm liegt das 3. Maximum bei θ = 1,10°.

λ = d · sin(θ) / m
  = 1·10⁻⁴ · sin(1,10°) / 3
  = 1·10⁻⁴ · 0,01920 / 3
  ≈ 6,40·10⁻⁷ m
  ≈ 640 nm

Roter Diodenlaser.