Beugung am Einzelspalt

Was beschreibt die Einzelspalt-Beugung?

Trifft eine ebene Welle (z. B. Laserlicht) auf einen schmalen Spalt der Breite a, breitet sie sich dahinter fächerförmig aus. Auf einem Schirm entsteht ein Beugungsmuster mit zentralem Hauptmaximum und mehreren Nebenmaxima. Die Minima (dunkle Streifen) liegen bei:

a · sin(θ) = m · λ mit m = 1, 2, 3, …

Je schmaler der Spalt, desto breiter das Beugungsmuster — Welleneigenschaft des Lichts pur.

Die Formel

a · sin(θ) = m · λ

Umstellungen:
    θ = arcsin(m · λ / a)
    λ = a · sin(θ) / m
    a = m · λ / sin(θ)
    m = a · sin(θ) / λ

Beachte: Das zentrale Maximum liegt bei θ = 0 und ist doppelt so breit wie die übrigen Nebenmaxima. Die Formel gilt für Fraunhofer-Beugung (Schirm im Fernfeld).

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Roter Laser (λ = 650 nm), Spaltbreite a = 0,1 mm, 1. Minimum:

sin(θ) = 1 · 650·10⁻⁹ / 1,0·10⁻⁴
       = 6,5·10⁻³
θ      = arcsin(0,0065)
       ≈ 0,372°

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Spaltbreite aus Schirmabstand

Auf einem Schirm in 2 m Entfernung liegt das 1. Minimum 13 mm neben dem Hauptmaximum. Welche Spaltbreite hat das Hindernis (λ = 633 nm, He-Ne-Laser)?

tan(θ) ≈ sin(θ) = 0,013 / 2 = 0,0065
a      = 1 · 633·10⁻⁹ / 0,0065
       ≈ 9,74·10⁻⁵ m
       ≈ 0,097 mm

Beispiel 2 — Breite des zentralen Maximums

Bei einem Spalt mit a = 0,2 mm und λ = 500 nm — wie breit ist das zentrale Maximum auf einem 1,5 m entfernten Schirm? (Abstand zwischen den beiden 1. Minima.)

sin(θ₁) = 500·10⁻⁹ / 2·10⁻⁴ = 2,5·10⁻³
y₁      = 1,5 · 2,5·10⁻³ ≈ 3,75 mm
Gesamt  ≈ 2 · 3,75 mm = 7,5 mm

Beispiel 3 — Mehrere Minima sichtbar?

Wie viele Minima sind bei λ = 633 nm und a = 1 µm überhaupt physikalisch möglich? (Bedingung |sin θ| ≤ 1.)

m_max = a / λ
      = 1·10⁻⁶ / 6,33·10⁻⁷
      ≈ 1,58
⇒ nur m = 1 sichtbar

Beim sehr schmalen Spalt verschwinden die Nebenmaxima fast vollständig.

Beispiel 4 — Wellenlänge aus Beugung bestimmen

Ein unbekannter Laser erzeugt am Spalt (a = 0,05 mm) das 2. Minimum bei θ = 1,45°.

λ = a · sin(θ) / m
  = 5·10⁻⁵ · sin(1,45°) / 2
  = 5·10⁻⁵ · 0,0253 / 2
  ≈ 6,33·10⁻⁷ m
  ≈ 633 nm

Klassischer He-Ne-Laser.

Beispiel 5 — Schalldämpfer als „Einzelspalt"

Eine 343-Hz-Schallwelle (λ ≈ 1 m) trifft auf eine 0,8 m breite Türöffnung. Bei welchem Winkel liegt das 1. Minimum?

sin(θ) = 1 · 1,0 / 0,8 = 1,25
⇒ kein reelles Minimum

Bei λ > a tritt überhaupt kein Minimum auf — die Welle wird in alle Richtungen gleichmäßig gestreut. Genau deshalb wirkt eine kleine Tür für tiefe Frequenzen wie eine omnidirektionale Quelle.