/ Wellen & Schall

Stehende Welle — geschlossenes Rohr (Oberton)

n-te ungerade Harmonische eines einseitig geschlossenen Rohrs: fₙ = n · v / (4 · L) mit n = 1, 3, 5, … Gerade Harmonische sind unterdrückt.

01 · Eingabe

Stehende Welle — geschlossenes Rohr (Oberton) berechnen

n-te ungerade Harmonische eines einseitig geschlossenen Rohrs: fₙ = n · v / (4 · L) mit n = 1, 3, 5, … Gerade Harmonische sind unterdrückt.

Lösen für

fn = n · v / (4 · L)

n Harmonische (ungerade)

v Schallgeschwindigkeit

m/s

L Rohrlänge

Warum nur ungerade Harmonische?

Im einseitig geschlossenen Rohr sitzen am geschlossenen Ende ein Druckbauch und am offenen ein Druckknoten. Damit diese Randbedingungen erfüllt sind, muss in das Rohr ein ungerades Vielfaches einer Viertelwellenlänge passen:

fₙ = n · v / (4 · L) mit n = 1, 3, 5, …

Gerade Vielfache (n = 2, 4, 6) sind physikalisch verboten — das prägt den charakteristischen Klang von Klarinette und gedackter Orgelpfeife: „hohl", „dunkel", weil die zweite Harmonische (Oktave) im Spektrum fehlt.

Die Formel

Formel Geschlossenes Rohr — Oberton

fn = n · v / (4 · L)   mit n = 1, 3, 5, …

Umstellungen:
    n = fn · 4 · L / v
    v = fn · 4 · L / n
    L = n · v / (4 · fn)

n = 1 ist der Grundton, n = 3 die Duodezime (Oktave + Quinte) — der erste hörbare Oberton liegt also eine Quinte plus Oktave über dem Grundton, nicht „nur" eine Oktave.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
fn	Frequenz n-ter Harmonischer	Hz	Frequenz der ungeraden Harmonischen.
n	Harmonische (ungerade)	-	Nur 1, 3, 5, 7, …
v	Schallgeschwindigkeit	m/s	Schallgeschwindigkeit im Rohr.
L	Rohrlänge	m	Länge des Rohrs.

Minimal-Beispiel

L = 1 m, v = 343 m/s, n = 3:

Rechnung 3. Harmonische

f₃ = 3 · 343 / (4 · 1)
   = 1029 / 4
   ≈ 257,3 Hz

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Klarinette überbläst

Beim Überblasen erreicht die Klarinette nicht die Oktave (wie eine Flöte), sondern die Duodezime. Welche Frequenz, wenn der Grundton 147 Hz ist (d)?

Rechnung Klarinette Duodezime

f₃ = 3 · 147 = 441 Hz   (≈ a')

Daher braucht die Klarinette unterhalb der „Registerlage" extra Klappenmechanik.

Beispiel 2 — Gedackte Pfeife spektral

Eine gedackte Pfeife mit Grundton 200 Hz hat welche ersten drei hörbaren Harmonischen?

Rechnung Gedacktes Spektrum

f₁ =  1 · 200 =  200 Hz
f₃ =  3 · 200 =  600 Hz
f₅ =  5 · 200 = 1000 Hz
f₇ =  7 · 200 = 1400 Hz

Im Vergleich zu einer offenen Pfeife (200, 400, 600, 800, …) fehlt die 400-Hz-Linie — der typische „dunkle" Klangeindruck.

Beispiel 3 — Welche Harmonische klingt?

In einer 80 cm langen geschlossenen Pfeife wird f = 1.071 Hz gemessen. Welche Harmonische ist das?

Rechnung Harmonische bestimmen

n = fn · 4 · L / v
  = 1071 · 3,2 / 343
  ≈ 10,0

n = 10 wäre gerade — physikalisch unmöglich. Tatsächlich liegt der Wert nahe an der 9. (1.071 ≈ 9 · 343 / 3,2). Bei einer geschlossenen Pfeife wäre das die n = 9 Harmonische — ungerade, also gültig.

Beispiel 4 — Länge aus 5. Harmonische

Eine gedackte Pfeife klingt in ihrer 5. Harmonischen bei 850 Hz.

Rechnung Pfeifenlänge

L = 5 · 343 / (4 · 850)
  ≈ 0,504 m

Beispiel 5 — Saxophon näherungsweise

Ein zylindrisches Saxophon-Modell (in Wahrheit konisch, aber stark vereinfacht) der Länge 1,1 m. Erste drei ungerade Harmonische?

Rechnung Sax-Modell

f₁ = 343 / (4 · 1,1)         ≈  78 Hz
f₃ = 3 · 343 / (4 · 1,1)     ≈ 234 Hz
f₅ = 5 · 343 / (4 · 1,1)     ≈ 390 Hz

Echte Saxophone klingen wegen der konischen Bohrung trotzdem mit vollem Obertonspektrum — das vereinfachte Modell stimmt nur tendenziell.