Stehende Welle — offenes Rohr (Oberton)
n-te Harmonische eines beidseitig offenen Rohrs: fₙ = n · v / (2 · L) mit n = 1, 2, 3, … Sowohl gerade als auch ungerade Vielfache des Grundtons sind möglich.
Stehende Welle — offenes Rohr (Oberton) berechnen
n-te Harmonische eines beidseitig offenen Rohrs: fₙ = n · v / (2 · L) mit n = 1, 2, 3, … Sowohl gerade als auch ungerade Vielfache des Grundtons sind möglich.
- fn — Frequenz n-ter Harmonischer
- n — Harmonische
- v — Schallgeschwindigkeit
- L — Rohrlänge
Welche Obertöne hat ein offenes Rohr?
In einem beidseitig offenen Rohr passen alle ganzzahligen Vielfachen der halben Wellenlänge — Grundton, doppelter Grundton (Oktave), dreifacher (Oktave + Quinte) usw.:
fₙ = n · v / (2 · L) mit n = 1, 2, 3, …
Damit liegt das vollständige harmonische Spektrum vor — eines der Markenzeichen offener Pfeifen. Beim einseitig geschlossenen Rohr fehlen dagegen die geraden Vielfachen (siehe „Stehende Welle — geschlossenes Rohr").
Die Formel
fn = n · v / (2 · L)
Umstellungen:
n = fn · 2 · L / v
v = fn · 2 · L / n
L = n · v / (2 · fn)Mit n = 1 ist das identisch zum Grundton, n = 2 ist die Oktave, n = 3 die Oktave + Quinte (Duodezime), n = 4 die Doppeloktave usw.
Die Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| fn | Frequenz n-ter Harmonischer | Hz | Frequenz der n-ten Harmonischen. |
| n | Harmonische | - | Ordnung (1, 2, 3, …). |
| v | Schallgeschwindigkeit | m/s | Schallgeschwindigkeit im Rohr. |
| L | Rohrlänge | m | Länge des Rohres. |
Minimal-Beispiel
L = 1 m, v = 343 m/s, n = 3:
fn = 3 · 343 / (2 · 1)
= 1029 / 2
≈ 514,5 HzPraxis-Beispiele
Beispiel 1 — Querflöte überbläst zur Oktave
Eine Querflöte mit Grundton 523 Hz (c″) wird stärker angeblasen. Welche Frequenz erklingt als 2. Harmonische?
f₂ = 2 · f₁ = 2 · 523 = 1046 HzDas ist c‴ — die Oktave drüber. Klassisches Verhalten offener Rohre.
Beispiel 2 — Orgelpfeife im Mixturregister
Eine offene Pfeife mit f₁ = 200 Hz erzeugt ihre ersten fünf Harmonischen — wo liegen sie?
f₁ = 200 Hz
f₂ = 400 Hz (Oktave)
f₃ = 600 Hz (Duodezime)
f₄ = 800 Hz (Doppeloktave)
f₅ = 1000 Hz (große Terz darüber)Genau dieses Spektrum prägt den vollen Klang der offenen Prinzipalpfeifen.
Beispiel 3 — Welche Oktave wird angeblasen?
In einer 60 cm langen offenen Pfeife wird ein Ton mit 1.430 Hz gemessen. Welche Harmonische ist das?
n = fn · 2 · L / v
= 1430 · 1,2 / 343
≈ 5,0Es handelt sich um die 5. Harmonische.
Beispiel 4 — Trompete als näherungsweise offenes Rohr
Eine ausgezogene Trompete hat eine effektive Länge von 1,38 m. Welche Frequenzen liegen für n = 2, 3, 4 (Naturtonreihe ohne Ventile)?
f₂ = 2 · 343 / (2 · 1,38) ≈ 248,6 Hz (≈ h)
f₃ = 3 · 343 / (2 · 1,38) ≈ 372,8 Hz (≈ fis')
f₄ = 4 · 343 / (2 · 1,38) ≈ 497,1 Hz (≈ h')Die idealen Naturtöne weichen leicht von der gleichstufigen Stimmung ab.
Beispiel 5 — Länge aus Oberton bestimmen
In einer offenen Pfeife wird die 4. Harmonische bei 800 Hz gemessen.
L = n · v / (2 · fn)
= 4 · 343 / (2 · 800)
= 1372 / 1600
≈ 0,858 m