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Gefäßwiderstand (Hagen-Poiseuille)

Strömungswiderstand eines Gefäßes nach Hagen-Poiseuille: Rvasc = 8 · η · L / (π · r⁴). Der Widerstand skaliert mit der vierten Potenz des Radius.

01 · Eingabe

Gefäßwiderstand (Hagen-Poiseuille) berechnen

Strömungswiderstand eines Gefäßes nach Hagen-Poiseuille: Rvasc = 8 · η · L / (π · r⁴). Der Widerstand skaliert mit der vierten Potenz des Radius.

Lösen für

Rvasc = 8 · η · L / (π · r⁴)

eta Blutviskosität

Pa·s

L Gefäßlänge

r Gefäßradius

Worum geht es?

Das Hagen-Poiseuille-Gesetz beschreibt den Strömungswiderstand laminar durchströmter, zylindrischer Gefäße. Es zeigt eine bemerkenswerte Abhängigkeit: Der Widerstand skaliert mit der vierten Potenz des Innenradius.

Eine Halbierung des Gefäßradius bedeutet also einen 16-fach höheren Widerstand. Diese starke Nichtlinearität erklärt, warum kleinste Veränderungen an Arteriolen den Gesamtwiderstand des Kreislaufs drastisch verändern können.

Die Formel

Formel Hagen-Poiseuille

Rvasc = 8 · η · L / (π · r⁴)

Umstellungen:
    η = Rvasc · π · r⁴ / (8 · L)
    L = Rvasc · π · r⁴ / (8 · η)
    r = (8 · η · L / (π · Rvasc))^(¼)

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
Rvasc	Gefäßwiderstand	Pa·s/m³	Strömungswiderstand des Gefäßes.
η	Blutviskosität	Pa·s	Dynamische Viskosität des Blutes.
L	Gefäßlänge	m	Länge des Gefäßabschnitts.
r	Gefäßradius	m	Innenradius des Gefäßes.

Minimal-Beispiel

η = 0,0035 Pa·s, L = 0,1 m, r = 0,003 m (Arteriole).

Rechnung Beispiel

Rvasc = 8 · 0,0035 · 0,1 / (π · 0,003⁴)
      = 0,0028 / (π · 8,1e−11)
      ≈ 1,10 · 10⁷ Pa·s/m³

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Aorta: weites Gefäß, geringer Widerstand

η = 0,0035 Pa·s, L = 0,2 m, r = 0,012 m.

Rechnung Aorta

r⁴   = 0,012⁴ = 2,07 · 10⁻⁸
Rvasc = 8 · 0,0035 · 0,2 / (π · 2,07 · 10⁻⁸)
      ≈ 8,6 · 10⁴ Pa·s/m³

Beispiel 2 — Halbierter Radius: 16-facher Widerstand

Vergleich r = 0,003 m vs. r = 0,0015 m (sonst gleich).

Rechnung Radius-Halbierung

r1⁴ / r2⁴ = (0,003 / 0,0015)⁴
          = 2⁴
          = 16

=> Widerstand R2 = 16 · R1

Beispiel 3 — Rückwärts: Radius aus bekanntem Widerstand

Rvasc = 1,0 · 10⁷ Pa·s/m³, η = 0,0035 Pa·s, L = 0,1 m.

Rechnung Radius

r = (8 · 0,0035 · 0,1 / (π · 1,0 · 10⁷))^(¼)
  = (0,0028 / 3,14 · 10⁷)^(¼)
  ≈ 3,07 · 10⁻³ m
  ≈ 3,07 mm