Diffusionskoeffizient (Stokes-Einstein)

Worum geht es?

Wie schnell ein Molekül in einer Flüssigkeit durch Brownsche Bewegung „diffundiert", hängt von drei Faktoren ab: der thermischen Energie kB·T, der Reibung im Lösungsmittel (6 π η r) und der Größe des Teilchens. Die Stokes-Einstein-Gleichung verbindet diese in einer eleganten Beziehung.

Sie gilt streng für kugelförmige Teilchen, die deutlich größer sind als die Lösungsmittelmoleküle — für Proteine, Vesikel und kolloidale Partikel ist sie eine sehr gute Näherung.

Die Formel

D = kB · T / (6 · π · η · r)

Umstellungen:
    T  = D · 6 · π · η · r / kB
    η  = kB · T / (6 · π · D · r)
    r  = kB · T / (6 · π · D · η)

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Ein kugelförmiges Protein mit r = 3 nm in Wasser bei 37 °C (η = 0,7 · 10⁻³ Pa·s).

D = 1,381·10⁻²³ · 310,15 / (6 · π · 0,7·10⁻³ · 3·10⁻⁹)
  ≈ 1,08·10⁻¹⁰ m²/s

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Glucose in Wasser

Glucose (r ≈ 0,36 nm) in Wasser bei 25 °C (η = 0,89 · 10⁻³ Pa·s).

D = 1,381·10⁻²³ · 298,15 / (6 · π · 0,89·10⁻³ · 0,36·10⁻⁹)
  ≈ 6,8·10⁻¹⁰ m²/s

Beispiel 2 — Hämoglobin im Cytoplasma

Hämoglobin (r ≈ 2,75 nm) bei 37 °C, Cytoplasma-Viskosität η ≈ 1,5 · 10⁻³ Pa·s.

D = 1,381·10⁻²³ · 310,15 / (6 · π · 1,5·10⁻³ · 2,75·10⁻⁹)
  ≈ 5,52·10⁻¹¹ m²/s

Beispiel 3 — Partikelgröße aus D

Ein Nanopartikel zeigt D = 1 · 10⁻¹¹ m²/s in Wasser bei 25 °C (η = 0,89 · 10⁻³ Pa·s). Welcher Radius?

r = kB · T / (6 · π · D · η)
  = 1,381·10⁻²³ · 298,15 / (6 · π · 1·10⁻¹¹ · 0,89·10⁻³)
  ≈ 2,45·10⁻⁸ m
  ≈ 24,5 nm