/ Membran & Transport

Goldman-Gleichung

Membranruhepotenzial unter Berücksichtigung mehrerer Ionen (K⁺, Na⁺, Cl⁻) gewichtet mit ihren relativen Permeabilitäten. Anionen-Konzentrationen erscheinen umgekehrt.

Goldman-Gleichung

01 · Eingabe

Goldman-Gleichung berechnen

Membranruhepotenzial unter Berücksichtigung mehrerer Ionen (K⁺, Na⁺, Cl⁻) gewichtet mit ihren relativen Permeabilitäten. Anionen-Konzentrationen erscheinen umgekehrt.

Vm = (R · T / F) · ln((PK · Ko + PNa · Nao + PCl · Cli) / (PK · Ki + PNa · Nai + PCl · Clo))

T Temperatur

PK Permeabilität K⁺

PNa Permeabilität Na⁺

PCl Permeabilität Cl⁻

Ko K⁺ außen

mmol/L

Ki K⁺ innen

mmol/L

Nao Na⁺ außen

mmol/L

Nai Na⁺ innen

mmol/L

Clo Cl⁻ außen

mmol/L

Cli Cl⁻ innen

mmol/L

Worum geht es?

Während die Nernst-Gleichung nur ein einziges Ion betrachtet, beschreibt die Goldman-Hodgkin-Katz-Gleichung das reale Ruhemembranpotenzial einer Zelle: Sie wichtet die Beiträge mehrerer Ionen mit ihren relativen Permeabilitäten.

Eine Besonderheit: Anionen (hier Cl⁻) erscheinen in Zähler und Nenner vertauscht (Cli oben, Clo unten) — weil sich ihre Wirkung auf das Potenzial gegenüber den Kationen umkehrt.

Die Formel

Formel Goldman

Vm = (R · T / F) · ln(
         (PK · Ko  + PNa · Nao + PCl · Cli) /
         (PK · Ki  + PNa · Nai + PCl · Clo)
     )

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
Vm	Membranpotenzial	V	Ruhemembranpotenzial.
T	Temperatur	K	Absolute Temperatur.
PK	Permeabilität K⁺	—	Relative Permeabilität für Kalium.
PNa	Permeabilität Na⁺	—	Relative Permeabilität für Natrium.
PCl	Permeabilität Cl⁻	—	Relative Permeabilität für Chlorid.
Ko, Ki	K⁺ außen / innen	mmol/L	Kaliumkonzentrationen.
Nao, Nai	Na⁺ außen / innen	mmol/L	Natriumkonzentrationen.
Clo, Cli	Cl⁻ außen / innen	mmol/L	Chloridkonzentrationen (vertauscht!).

Minimal-Beispiel

Typisches Säugerneuron bei 37 °C: PK : PNa : PCl ≈ 1 : 0,04 : 0,45; Ko = 5, Ki = 140, Nao = 145, Nai = 12, Clo = 110, Cli = 7 (alle in mmol/L).

Rechnung Beispiel

Zähler  = 1·5  + 0,04·145 + 0,45·7   = 13,95
Nenner  = 1·140 + 0,04·12 + 0,45·110 = 189,98

Vm = (8,314 · 310,15 / 96485) · ln(13,95 / 189,98)
   = 0,02672 · ln(0,0734)
   ≈ −0,0698 V
   ≈ −70 mV

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Skelettmuskelfaser

PK : PNa : PCl ≈ 1 : 0,02 : 1,0; Ko = 4, Ki = 155, Nao = 145, Nai = 12, Clo = 120, Cli = 4 (mmol/L), T = 310,15 K.

Rechnung Muskelfaser

Zähler = 1·4   + 0,02·145 + 1·4    = 10,9
Nenner = 1·155 + 0,02·12  + 1·120  = 275,24

Vm = 0,02672 · ln(10,9 / 275,24)
   ≈ 0,02672 · ln(0,0396)
   ≈ −0,0862 V
   ≈ −86 mV

Beispiel 2 — Depolarisierte Zelle

Selbe Konzentrationen wie im Minimal-Beispiel, aber während eines Aktionspotenzials kehrt sich PK : PNa zu 1 : 20 um (Na⁺-Kanäle dominieren).

Rechnung Spike

Zähler = 1·5   + 20·145 + 0,45·7   = 2908,15
Nenner = 1·140 + 20·12  + 0,45·110 = 429,5

Vm = 0,02672 · ln(2908,15 / 429,5)
   ≈ 0,02672 · 1,913
   ≈ +0,0511 V
   ≈ +51 mV

Beispiel 3 — Erhöhtes extrazelluläres K⁺

Hyperkaliämie: Ko steigt von 5 auf 10 mmol/L, sonst wie Minimal-Beispiel.

Rechnung Hyperkaliämie

Zähler = 1·10  + 0,04·145 + 0,45·7  = 18,95
Nenner = 1·140 + 0,04·12  + 0,45·110 = 189,98

Vm = 0,02672 · ln(18,95 / 189,98)
   ≈ 0,02672 · (−2,306)
   ≈ −0,0616 V
   ≈ −62 mV  (Depolarisation um ~8 mV)