Bakterienwachstum (exponentiell)

Worum geht es?

In der log-Phase einer Bakterienkultur wächst die Zellzahl exponentiell — jede Zelle teilt sich unabhängig mit derselben spezifischen Wachstumsrate µ. Substrate sind im Überfluss vorhanden, Hemmprodukte spielen noch keine Rolle.

Mathematisch beschreibt das die Differentialgleichung dN/dt = µ · N, deren Lösung die klassische Exponentialfunktion Nt = N0 · e^(µ·t) liefert.

Die Formel

Nt = N0 · e^(µ · t)

Umstellungen:
    N0 = Nt · e^(−µ · t)
    µ  = ln(Nt / N0) / t
    t  = ln(Nt / N0) / µ

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Eine Kultur startet mit 10⁵ Zellen/mL und wächst 3 h mit µ = 0,693 / h:

Nt = 10⁵ · e^(0,693 · 3)
   = 10⁵ · e^(2,079)
   ≈ 10⁵ · 8
   = 8 · 10⁵ Zellen/mL

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Labor: E. coli in LB-Medium

E. coli wächst mit µ = 1,386 / h. Wie viele Zellen liegen nach 2 h vor, wenn mit 10⁶/mL angeimpft wurde?

Nt = 10⁶ · e^(1,386 · 2)
   = 10⁶ · e^(2,772)
   ≈ 10⁶ · 16
   = 1,6 · 10⁷ Zellen/mL

Beispiel 2 — Lebensmittel: Verderbskeime

Eine Probe enthält 10² Keime/g. Bei Raumtemperatur ist µ = 0,4 / h. Wie lange dauert es bis zur kritischen Grenze 10⁶/g?

t = ln(10⁶ / 10²) / 0,4
  = ln(10⁴) / 0,4
  ≈ 9,21 / 0,4
  ≈ 23 h

Beispiel 3 — Bioreaktor: Wachstumsrate aus Messwerten

Eine Hefekultur steigt von 5 · 10⁶ auf 4 · 10⁷ Zellen/mL in 4 h. Wie hoch ist µ?

µ = ln(4 · 10⁷ / 5 · 10⁶) / 4
  = ln(8) / 4
  ≈ 2,079 / 4
  ≈ 0,520 / h