Längskonstante Axon

Worum geht es?

Eine unterschwellige Spannungsänderung breitet sich entlang eines Axons passiv aus und nimmt dabei exponentiell mit der Entfernung ab. Die Längskonstante λ ist die Strecke, nach der das Signal auf etwa 37 % (1/e) abgefallen ist.

λ hängt aus der Kabelgleichung von zwei Widerständen pro Länge ab: dem Membranwiderstand rm (je größer, desto geringer der Querverlust) und dem Innenwiderstand ri (je kleiner, desto weiter reicht der Strom). Dickere und besser isolierte Fasern haben damit eine größere Reichweite.

Die Formel

λ = √(rm / ri)

Umstellungen:
    rm = λ² · ri
    ri = rm / λ²

Die Variablen

Minimal-Beispiel

rm = 4 MΩ·cm = 400 000 Ω·m, ri = 100 MΩ/cm = 10 000 000 000 Ω/m? Wir bleiben in praktikablen Einheiten: rm = 4 · 10⁵ Ω·m, ri = 1 · 10¹⁰ Ω/m.

λ = √(rm / ri)
  = √(4·10⁵ / 1·10¹⁰)
  = √(4·10⁻⁵)
  ≈ 6,3 · 10⁻³ m
  ≈ 6,3 mm

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Schule: Dendrit einer Motoneurone

Ein dicker Dendrit hat rm = 2,5 · 10⁵ Ω·m und ri = 2,5 · 10⁹ Ω/m.

λ = √(2,5·10⁵ / 2,5·10⁹)
  = √(1·10⁻⁴)
  = 0,01 m
  = 1 cm

Beispiel 2 — Labor: dünnes Axon

Bei einer dünnen unmyelinisierten Faser sinkt rm auf 1·10⁵ Ω·m, ri steigt auf 4·10¹⁰ Ω/m.

λ = √(1·10⁵ / 4·10¹⁰)
  = √(2,5·10⁻⁶)
  ≈ 1,58·10⁻³ m
  ≈ 1,6 mm

Beispiel 3 — Rückwärts: Innenwiderstand schätzen

Aus einem Strominjektionsexperiment ergibt sich λ = 5 mm bei rm = 5·10⁵ Ω·m.

ri = rm / λ²
   = 5·10⁵ / (0,005)²
   = 5·10⁵ / 2,5·10⁻⁵
   = 2·10¹⁰ Ω/m