/ Populationsbiologie

Exponentielles Wachstum

Populationsgröße bei unbegrenztem Wachstum: Nt = N0 · e^(r · t). Beschreibt ideales Wachstum ohne Ressourcenlimits.

01 · Eingabe

Exponentielles Wachstum berechnen

Populationsgröße bei unbegrenztem Wachstum: Nt = N0 · e^(r · t). Beschreibt ideales Wachstum ohne Ressourcenlimits.

Lösen für

Nt = N0 · e^(r · t)

N0 Anfangspopulation

r Wachstumsrate

1/t

t Zeit

Was ist exponentielles Wachstum?

Exponentielles Wachstum beschreibt eine Population, deren Zuwachs jederzeit proportional zur aktuellen Größe ist — also unbegrenzte Ressourcen, keine Sterbeplateaus, kein Dichtefeedback. Die Lösung der Differentialgleichung dN/dt = r · N lautet Nt = N0 · e^(r · t).

In der Praxis trifft das nur für kurze Phasen zu: Bakterien in der log-Phase, Mikroorganismen unter Optimalbedingungen oder Tierpopulationen direkt nach Einbürgerung in einen leeren Lebensraum.

Die Formel

Formel Exponentielles Wachstum

Nt = N0 · e^(r · t)

Umstellungen:
    N0 = Nt · e^(-r · t)
    r  = ln(Nt / N0) / t
    t  = ln(Nt / N0) / r

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
Nt	Population zum Zeitpunkt t	—	Populationsgröße nach Zeit t.
N0	Anfangspopulation	—	Populationsgröße zu Beginn.
r	Wachstumsrate	1/t	Intrinsische Wachstumsrate.
t	Zeit	—	Verstrichene Zeit.

Minimal-Beispiel

Eine Bakterienkultur startet mit N0 = 1 000 Zellen und wächst mit r = 0,5 / h. Wie groß ist sie nach t = 4 h?

Rechnung Beispiel

Nt = N0 · e^(r · t)
   = 1 000 · e^(0,5 · 4)
   = 1 000 · e^2
   ≈ 7 389 Zellen

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Wachstumsrate aus Messung

Eine Hefekultur wächst von 5 · 10⁶ auf 2 · 10⁷ Zellen in 3 h.

Rechnung Wachstumsrate r

r = ln(Nt / N0) / t
  = ln(2·10⁷ / 5·10⁶) / 3 h
  = ln(4) / 3 h
  ≈ 0,462 / h

Beispiel 2 — Verdopplungszeit

Bei r = 0,2 / h: nach welcher Zeit verdoppelt sich die Population?

Rechnung Zeit t

t = ln(Nt / N0) / r
  = ln(2) / 0,2
  ≈ 3,47 h