/ Populationsbiologie

Logistisches Wachstum

Momentane Wachstumsrate bei begrenzten Ressourcen (Verhulst-Gleichung): dNdt = r · N · (1 − N / K).

01 · Eingabe

Logistisches Wachstum berechnen

Momentane Wachstumsrate bei begrenzten Ressourcen (Verhulst-Gleichung): dNdt = r · N · (1 − N / K).

Lösen für

dNdt = r · N · (1 - N / K)

r Intrinsische Rate

1/t

N Aktuelle Population

K Tragfähigkeit

Was ist logistisches Wachstum?

Das logistische Wachstumsmodell — auch Verhulst-Gleichung — ergänzt das exponentielle Wachstum um eine dichteabhängige Bremsung: Je näher die Population an die Tragfähigkeit K kommt, desto kleiner wird der Klammerterm (1 − N / K). Bei N = K verschwindet das Wachstum, bei N > K wird es negativ.

Das Modell ist die Basisbeschreibung realistischer Wachstumskurven mit S-Form (sigmoid).

Die Formel

Formel Logistisches Wachstum

dNdt = r · N · (1 - N / K)

Umstellungen:
    r = dNdt / (N · (1 - N / K))
    K = r · N² / (r · N - dNdt)
    N = (r - √(r² - 4 · r / K · dNdt)) / (2 · r / K)

Bei der Auflösung nach N (quadratische Gleichung) wird die kleinere Wurzel als physikalisch sinnvolle Lösung gewählt.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
dNdt	Wachstumsrate dN/dt	1/t	Momentane Änderung der Population.
r	Intrinsische Rate	1/t	Maximale Wachstumsrate.
N	Aktuelle Population	—	Aktuelle Populationsgröße.
K	Tragfähigkeit	—	Maximale Kapazität der Umgebung.

Minimal-Beispiel

Eine Population mit r = 0,1 / a, N = 200 Individuen und Tragfähigkeit K = 1 000 wächst aktuell mit:

Rechnung dN/dt

dNdt = r · N · (1 - N / K)
     = 0,1 · 200 · (1 - 200 / 1000)
     = 0,1 · 200 · 0,8
     = 16 Individuen / Jahr

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Bremsung kurz vor K

Mit r = 0,1, N = 950, K = 1 000:

Rechnung Wachstum nahe K

dNdt = 0,1 · 950 · (1 - 950/1000)
     = 0,1 · 950 · 0,05
     ≈ 4,75 / Jahr

Beispiel 2 — Wendepunkt bei N = K/2

Bei N = 500 und K = 1 000 ist der Klammerterm 0,5 — dort wird das Wachstum maximal:

Rechnung Wendepunkt

dNdt = 0,1 · 500 · 0,5
     = 25 / Jahr