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Wachstumsrate r

Intrinsische Wachstumsrate einer Population: r = (ln(Nt) − ln(N0)) / t. Ableitung des exponentiellen Wachstumsgesetzes.

Wachstumsrate r
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Wachstumsrate r berechnen

Intrinsische Wachstumsrate einer Population: r = (ln(Nt) − ln(N0)) / t. Ableitung des exponentiellen Wachstumsgesetzes.

Lösen für
r = (ln(Nt) - ln(N0)) / t

Was ist die intrinsische Wachstumsrate?

Die intrinsische Wachstumsrate r ist die fundamentale Kenngröße einer wachsenden Population. Sie beschreibt, wie schnell die Population pro Zeiteinheit ihre Größe ändert — im exponentiellen Modell ist sie der Exponent der e-Funktion.

Praktisch gewinnt man r aus zwei Messpunkten N0 und Nt mit Hilfe des natürlichen Logarithmus.

Die Formel

Formel Wachstumsrate r 
r = (ln(Nt) - ln(N0)) / t

Umstellungen:
    Nt = N0 · e^(r · t)
    N0 = Nt · e^(-r · t)
    t  = (ln(Nt) - ln(N0)) / r

Die Variablen

SymbolBedeutungEinheitErklärung
rWachstumsrate1/tIntrinsische Wachstumsrate.
NtEndpopulation—Populationsgröße am Ende.
N0Anfangspopulation—Populationsgröße zu Beginn.
tZeit—Zeitraum zwischen den Messungen.

Minimal-Beispiel

Eine Population wächst in t = 5 a von N0 = 1 200 auf Nt = 3 600 Individuen.

Rechnung r 
r = (ln(3600) - ln(1200)) / 5
  = ln(3) / 5
  ≈ 0,2197 / a

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Bakterienkultur

Eine Kultur wächst in 90 min von 4 · 10⁵ auf 3,2 · 10⁶ Zellen.

Rechnung r aus Zellzahl 
r = ln(3,2·10⁶ / 4·10⁵) / 90 min
  = ln(8) / 90 min
  ≈ 0,0231 / min

Beispiel 2 — Stadtbevölkerung

Eine Stadt wächst in 20 a von 100 000 auf 130 000 Einwohner.

Rechnung r demografisch 
r = ln(1,3) / 20
  ≈ 0,0131 / a
  ≈ 1,31 % / a