/ Gasgesetze (Chemisch)

Van-der-Waals-Gleichung

Zustandsgleichung für reale Gase: p = n·R·T/(V − n·b) − a·n²/V². Berücksichtigt Eigenvolumen (b) und Anziehung (a) der Teilchen.

01 · Eingabe

Van-der-Waals-Gleichung berechnen

Zustandsgleichung für reale Gase: p = n·R·T/(V − n·b) − a·n²/V². Berücksichtigt Eigenvolumen (b) und Anziehung (a) der Teilchen.

Lösen für

p = n · R · T / (V − n · b) − a · n² / V²

n Stoffmenge

mol

T Temperatur

V Volumen

m³

a Van-der-Waals a

Pa·m⁶/mol²

b Van-der-Waals b

m³/mol

Was beschreibt die Van-der-Waals-Gleichung?

Die ideale Gasgleichung versagt bei hohen Drücken und niedrigen Temperaturen — dort sind das Eigenvolumen der Teilchen und ihre gegenseitige Anziehung nicht mehr vernachlässigbar. Die Van-der-Waals-Gleichung korrigiert beide Effekte:

Die Konstante b zieht das Eigenvolumen der Teilchen vom verfügbaren Volumen ab.
Die Konstante a beschreibt die anziehenden Wechselwirkungen und reduziert den effektiv messbaren Druck.

Für jedes Gas sind a und b experimentell bestimmt (z. B. CO₂: a = 0,3640 Pa·m⁶/mol², b = 4,267·10⁻⁵ m³/mol).

Die Formel

Formel Van-der-Waals

p = n · R · T / (V − n · b)  −  a · n² / V²

Nach T umgestellt:
    T = (p + a · n² / V²) · (V − n · b) / (n · R)

Hinweis: Eine geschlossene Umstellung nach V oder n ergibt eine kubische Gleichung und wird in diesem Rechner nicht direkt aufgelöst. Nur die Auflösungen nach p und nach T sind verfügbar.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
p	Druck	Pa	Druck des realen Gases.
n	Stoffmenge	mol	Stoffmenge des Gases.
T	Temperatur	K	Absolute Temperatur (T[K] = ϑ[°C] + 273,15).
V	Volumen	m³	Volumen des Gasbehälters.
a	Van-der-Waals a	Pa·m⁶/mol²	Maß für die Anziehung zwischen den Teilchen.
b	Van-der-Waals b	m³/mol	Eigenvolumen der Teilchen pro Mol.
R	Gaskonstante	J/(mol·K)	Universelle Gaskonstante R = 8,314462.

Minimal-Beispiel

1 mol CO₂ bei T = 300 K in V = 0,001 m³ (1 L). Mit a = 0,3640 Pa·m⁶/mol² und b = 4,267·10⁻⁵ m³/mol.

Rechnung Druck CO₂

Idealgas:    p = n·R·T/V
               = 1·8,314462·300 / 0,001
               ≈ 2,494·10⁶ Pa  (≈ 24,94 bar)

Van der Waals:
p = 1·8,314462·300 / (0,001 − 1·4,267·10⁻⁵)
    − 0,3640 · 1² / 0,001²
  ≈ 8,314462·300 / 9,5733·10⁻⁴  −  3,640·10⁵
  ≈ 2,605·10⁶ − 3,640·10⁵
  ≈ 2,241·10⁶ Pa
  ≈ 22,41 bar

Der Realgasdruck liegt unterhalb des idealen Werts — typisch für ein Gas mit deutlicher Anziehung wie CO₂.

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Stickstoff bei hohem Druck

2 mol N₂ in 0,002 m³ bei 250 K. Mit a = 0,1370 Pa·m⁶/mol², b = 3,87·10⁻⁵ m³/mol.

Rechnung p(N₂)

p = 2·8,314462·250 / (0,002 − 2·3,87·10⁻⁵)
    − 0,1370 · 4 / 0,002²
  = 4 157,23 / 1,9226·10⁻³ − 1,370·10⁵
  ≈ 2,163·10⁶ − 1,370·10⁵
  ≈ 2,026·10⁶ Pa
  ≈ 20,26 bar

Beispiel 2 — Temperatur eines komprimierten Gases

Ein realer Druck von 5·10⁶ Pa wird in 0,001 m³ Volumen mit 1 mol CO₂ gemessen (a = 0,3640, b = 4,267·10⁻⁵). Welche Temperatur herrscht?

Rechnung T(CO₂)

Korrektur:  a·n²/V² = 0,3640 · 1 / 0,001² = 3,640·10⁵ Pa
T = (p + a·n²/V²) · (V − n·b) / (n·R)
  = (5·10⁶ + 3,640·10⁵) · (0,001 − 4,267·10⁻⁵) / (1 · 8,314462)
  = 5,364·10⁶ · 9,5733·10⁻⁴ / 8,314462
  ≈ 5 135,5 / 8,314462
  ≈ 617,7 K
  ≈ 344,5 °C

Beispiel 3 — Methan-Vergleich mit Idealgas

0,5 mol CH₄ in 0,0005 m³ bei 280 K. Mit a = 0,2283 Pa·m⁶/mol², b = 4,278·10⁻⁵ m³/mol.

Rechnung p(CH₄)

Idealgas:    p = 0,5·8,314462·280 / 0,0005
               ≈ 2,328·10⁶ Pa

Van der Waals:
p = 0,5·8,314462·280 / (0,0005 − 0,5·4,278·10⁻⁵)
    − 0,2283 · 0,25 / 0,0005²
  ≈ 1 164,02 / 4,786·10⁻⁴ − 2,283·10⁵
  ≈ 2,432·10⁶ − 2,283·10⁵
  ≈ 2,204·10⁶ Pa
  ≈ 22,04 bar

Beispiel 4 — Wann lohnt sich die Korrektur?

Bei niedrigen Drücken (≤ 1 bar) und Temperaturen weit oberhalb der Siedetemperatur weicht die Van-der-Waals-Gleichung kaum vom idealen Gas ab. Erst bei mehreren zehn bar oder nahe der kritischen Temperatur werden die Korrekturen relevant — z. B. in der Hochdrucksynthese, bei Kältemitteln oder in der Gasspeicherung.

Faustregel: Solange die Reduktion p/p_kritisch klein und T/T_kritisch deutlich größer als 1 ist, reicht die ideale Gasgleichung.