Zerfallsreihe (Tochternuklid)

Was ist die Zerfallsreihe?

Beim radioaktiven Zerfall wandelt sich ein Mutterkern A in einen Tochterkern B um. Die Anzahl der zur Zeit t bereits gebildeten Tochternuklide wächst, während die Anzahl der Mutterkerne exponentiell abnimmt.

Aus dem Zerfallsgesetz N_A(t) = N_A0 · e^(−λ · t) folgt direkt für die Tochterkerne (sofern sie selbst stabil sind oder ihre Folgezerfälle hier nicht betrachtet werden):

N_B(t) = N_A0 − N_A(t) = N_A0 · (1 − e^(−λ · t))

Die Zerfallskonstante λ hängt mit der Halbwertszeit t½ über λ = ln(2) / t½ zusammen.

Die Formel

N_B = N_A0 · (1 − e^(−λ · t))

Umstellungen:
    N_A0 = N_B / (1 − e^(−λ · t))
    t    = −ln(1 − N_B / N_A0) / λ
    λ    = −ln(1 − N_B / N_A0) / t

Die Variablen

Minimal-Beispiel

10 000 Mutterkerne, Zerfallskonstante λ = 1 · 10⁻³ 1/s, nach t = 1 000 s.

N_B = N_A0 · (1 − e^(−λ · t))
    = 10 000 · (1 − e^(−1·10⁻³ · 1 000))
    = 10 000 · (1 − e^(−1))
    ≈ 10 000 · 0,6321
    ≈ 6 321 Kerne

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Halbwertszeit erreicht

Nach genau einer Halbwertszeit gilt λ · t = ln(2). Damit zerfällt die Hälfte der Mutterkerne.

N_B = N_A0 · (1 − e^(−ln 2))
    = N_A0 · (1 − 1/2)
    = N_A0 / 2

Beispiel 2 — Iod-131 in der Medizin

Iod-131 hat t½ ≈ 8,02 Tage, also λ ≈ 0,0864 1/Tag. Nach 24 Tagen (drei Halbwertszeiten):

N_B / N_A0 = 1 − e^(−0,0864 · 24)
           = 1 − e^(−2,0739)
           ≈ 1 − 0,1258
           ≈ 0,8742

Rund 87,4 % der ursprünglichen Iod-Kerne haben sich zu Xenon-131 umgewandelt.

Beispiel 3 — Zeit aus Tochteranteil

Wie lange dauert es, bis 30 % der Mutterkerne zerfallen sind (λ = 5 · 10⁻⁴ 1/s)?

t = −ln(1 − 0,30) / λ
  = −ln(0,70) / (5·10⁻⁴)
  ≈ 0,3567 / 5·10⁻⁴
  ≈ 713,4 s

Beispiel 4 — Zerfallskonstante aus Messung

In 600 s sind aus 1·10⁶ Atomen 1,8·10⁵ Tochterkerne entstanden.

λ = −ln(1 − 1,8·10⁵ / 1·10⁶) / 600 s
  = −ln(0,82) / 600 s
  ≈ 0,1985 / 600 s
  ≈ 3,31 · 10⁻⁴ 1/s

Beispiel 5 — Asymptotik

Für sehr große t (t ≫ 1/λ) geht e^(−λt) gegen 0, sodass N_B → N_A0. Praktisch sind nach rund 10 Halbwertszeiten weniger als 0,1 % der Mutterkerne übrig.