Aktivierungsenergie (Zwei-Punkt)

Was ist die Zwei-Punkt-Methode?

Aus der Arrhenius-Gleichung lässt sich die Aktivierungsenergie experimentell bestimmen, indem man die Geschwindigkeitskonstante bei zwei verschiedenen Temperaturen misst. Die Differenz der logarithmierten Form ergibt eine geschlossene Formel — der Frequenzfaktor A kürzt sich heraus.

Diese Zwei-Punkt-Methode ist besonders praktisch im Labor, weil nur zwei Messreihen statt einer ganzen Temperaturreihe nötig sind. Beachte: T₁ und T₂ müssen in Kelvin eingesetzt werden, und je weiter sie auseinander liegen, desto präziser wird das Ergebnis.

Die Formel

Ea = −R · T₁ · T₂ / (T₂ − T₁) · ln(k₂ / k₁)

Umstellungen:
    k₁ = k₂ · e^(Ea · (T₂ − T₁) / (R · T₁ · T₂))
    k₂ = k₁ · e^(−Ea · (T₂ − T₁) / (R · T₁ · T₂))

Die Variablen

Mit R = 8,314462 J/(mol·K).

Minimal-Beispiel

Bei T₁ = 298,15 K ist k₁ = 1·10⁻⁴ 1/s, bei T₂ = 318,15 K ist k₂ = 4·10⁻⁴ 1/s.

Ea = −R · T₁ · T₂ / (T₂ − T₁) · ln(k₂ / k₁)
   = −8,314 · 298,15 · 318,15 / 20 · ln(4)
   = −8,314 · 4 743,6 · 1,3863
   ≈ −54 681 · 1,3863  (Vorzeichen aus −R)
   ≈ 54 670 J/mol
   ≈ 54,7 kJ/mol

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Enzymkinetik

Ein Enzym zeigt bei T₁ = 293,15 K (20 °C) k₁ = 0,5 1/s und bei T₂ = 310,15 K (37 °C) k₂ = 2,0 1/s.

Ea = −8,314 · 293,15 · 310,15 / 17 · ln(4)
   ≈ −44 458 · 1,3863
   ≈ 61 600 J/mol
   ≈ 61,6 kJ/mol

Beispiel 2 — k₂ aus bekanntem Ea vorhersagen

Bekannt: Ea = 75 000 J/mol, k₁ = 1·10⁻³ 1/s bei T₁ = 300 K. Wie groß ist k bei T₂ = 320 K?

Exponent = −Ea · (T₂ − T₁) / (R · T₁ · T₂)
         = −75 000 · 20 / (8,314 · 96 000)
         ≈ −1,879  (positiv, da Faktor −1 dranbleibt → +1,879)
k₂ = k₁ · e^(1,879)
   ≈ 1·10⁻³ · 6,55
   ≈ 6,5·10⁻³ 1/s

Beispiel 3 — k₁ rückwärts berechnen

Ea = 50 kJ/mol = 50 000 J/mol, k₂ = 0,1 1/s bei T₂ = 340 K. Wie groß ist k₁ bei T₁ = 300 K?

Exponent = Ea · (T₂ − T₁) / (R · T₁ · T₂)
         = 50 000 · 40 / (8,314 · 102 000)
         ≈ 2,358
k₁ = k₂ · e^(−2,358)
   ≈ 0,1 · 0,0945
   ≈ 9,45·10⁻³ 1/s