Maschenstromanalyse (2 Maschen)

Worum geht es?

Das Maschenstromverfahren ist eine systematische Methode zur Berechnung verzweigter Netzwerke. Statt einzelne Zweigströme zu betrachten, weist man jeder Masche einen gedachten Umlaufstrom zu — den Maschenstrom. Der tatsächliche Strom durch ein Bauteil ergibt sich aus der Summe oder Differenz der Maschenströme, die durch dieses Bauteil fließen.

Für eine Schaltung mit zwei Maschen, die sich einen gemeinsamen Widerstand R₃ teilen, lautet die Maschengleichung der ersten Masche: Die Quellenspannung U₁ ist die Summe der Spannungsabfälle entlang der Masche. Dabei fließt durch R₁ nur I₁, durch den Koppel-Widerstand R₃ aber die Differenz I₁ − I₂.

Die Formel

U₁ = I₁ · R₁ + (I₁ − I₂) · R₃

Umstellungen:
    I₁ = (U₁ + I₂ · R₃) / (R₁ + R₃)
    I₂ = (I₁ · (R₁ + R₃) − U₁) / R₃

Die Variablen

Minimal-Beispiel

U₁ = 12 V, R₁ = 4 Ω, R₃ = 6 Ω, in Masche 2 fließe I₂ = 0,5 A.

I₁ = (U₁ + I₂ · R₃) / (R₁ + R₃)
   = (12 V + 0,5 A · 6 Ω) / (4 Ω + 6 Ω)
   = 15 V / 10 Ω
   = 1,5 A

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Quellenspannung aus Maschenströmen

Gegeben I₁ = 2 A, I₂ = 0,8 A, R₁ = 5 Ω, R₃ = 10 Ω. Wie groß ist U₁?

U₁ = I₁ · R₁ + (I₁ − I₂) · R₃
   = 2 A · 5 Ω + (2 A − 0,8 A) · 10 Ω
   = 10 V + 12 V
   = 22 V

Beispiel 2 — Zweiter Maschenstrom

Aus U₁ = 24 V, I₁ = 3 A, R₁ = 4 Ω, R₃ = 8 Ω den Maschenstrom I₂ bestimmen.

I₂ = (I₁ · (R₁ + R₃) − U₁) / R₃
   = (3 A · (4 Ω + 8 Ω) − 24 V) / 8 Ω
   = (36 V − 24 V) / 8 Ω
   = 1,5 A

Beispiel 3 — Strom durch Koppelwiderstand

Aus den Maschenströmen I₁ = 1,5 A und I₂ = 1,5 A folgt: Durch den gemeinsamen Widerstand R₃ fließt I₁ − I₂ = 0 A. Die Masche ist abgeglichen — kein Querstrom über R₃.

I_R3 = I₁ − I₂
     = 1,5 A − 1,5 A
     = 0 A