Kondensator-Ladespannung

Worum geht es?

Liegt eine Gleichspannung U₀ über einen Vorwiderstand R an einem entladenen Kondensator, lädt sich dieser exponentiell auf: Anfangs steigt die Spannung schnell, mit zunehmender Ladung sinkt die Stromstärke und damit die Ladegeschwindigkeit. Mathematisch nähert sich U(t) asymptotisch an U₀ an.

Die Zeitkonstante τ = R · C ist der Taktgeber: Nach τ ist der Kondensator auf ≈ 63 % von U₀ geladen, nach 5 · τ auf > 99 %.

Die Formel

U(t) = U₀ · (1 − e^(−t / (R · C)))

Umstellungen:
    t  = −R · C · ln(1 − U(t) / U₀)
    U₀ = U(t) / (1 − e^(−t / (R · C)))

Die Variablen

Minimal-Beispiel

R = 10 kΩ, C = 100 µF, U₀ = 10 V. Spannung nach t = 1 s?

τ = R · C = 10 000 · 100 · 10⁻⁶ = 1 s

U(t) = 10 · (1 − e^(−1 / 1))
     = 10 · (1 − 0,3679)
     ≈ 6,32 V

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Wann sind 90 % erreicht?

Gleiche Werte: R = 10 kΩ, C = 100 µF, U₀ = 10 V. U(t) = 9 V.

t = −R · C · ln(1 − U/U₀)
  = −1 · ln(1 − 0,9)
  = −1 · ln(0,1)
  ≈ 2,30 s

Faustregel: ≈ 2,3 · τ für 90 %.

Beispiel 2 — Einschaltverzögerung

R = 470 kΩ, C = 1 µF an 5 V Versorgung. Wann erreicht die Spannung 3,3 V (Schwellwert)?

τ = 470 000 · 10⁻⁶ = 0,47 s

t = −0,47 · ln(1 − 3,3/5)
  = −0,47 · ln(0,34)
  ≈ 0,507 s

Beispiel 3 — Lange Konstante

R = 1 MΩ, C = 470 µF, U₀ = 12 V. Spannung nach 60 s?

τ = 1 · 10⁶ · 470 · 10⁻⁶ = 470 s

U(60) = 12 · (1 − e^(−60/470))
      = 12 · (1 − e^(−0,1277))
      ≈ 12 · 0,1198
      ≈ 1,44 V