/ Spule & Induktivität

RL-Stromaufbau

Strom beim Einschalten einer RL-Schaltung: I(t) = (U / R) · (1 − e^(−t·R/L)). Exponentielle Annäherung an den Endwert U/R.

RL-Stromaufbau

01 · Eingabe

RL-Stromaufbau berechnen

Strom beim Einschalten einer RL-Schaltung: I(t) = (U / R) · (1 − e^(−t·R/L)). Exponentielle Annäherung an den Endwert U/R.

Lösen für

I_t = (U / R) · (1 − e^(−t · R / L))

U Spannung

R Widerstand

L Induktivität

t Zeit

Worum geht es?

Wird eine RL-Schaltung an eine Gleichspannung gelegt, kann der Strom nicht sprunghaft ansteigen — die Spule wirkt der Stromänderung entgegen. Er nähert sich exponentiell seinem Endwert U/R, gesteuert durch die Zeitkonstante τ = L / R.

Bei t = 0 ist I = 0, nach unendlich langer Zeit erreicht der Strom den stationären Endwert I_∞ = U / R. Das Verhalten ist das Spiegelbild des Kondensator-Ladevorgangs.

Die Formel

Formel Stromaufbau RL

I(t) = (U / R) · (1 − e^(−t · R / L))

Zeit aus dem Strom umgekehrt:
    t = −(L / R) · ln(1 − I(t) · R / U)

Der Term R/L im Exponenten ist gerade der Kehrwert der Zeitkonstanten τ — manchmal wird die Formel auch I(t) = I_∞ · (1 − e^(−t/τ)) geschrieben.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
I_t	Strom bei t	A	Momentaner Strom durch die Spule.
U	Spannung	V	Quellenspannung an der Reihenschaltung.
R	Widerstand	Ω	Widerstand im RL-Kreis.
L	Induktivität	H	Induktivität der Spule.
t	Zeit	s	Vergangene Zeit seit dem Einschalten.

Minimal-Beispiel

U = 12 V, R = 100 Ω, L = 50 mH, t = 1 ms.

Rechnung I(t) ausrechnen

τ    = L / R = 0,05 / 100 = 0,5 ms
I(t) = (U / R) · (1 − e^(−t/τ))
     = 0,12 A · (1 − e^(−1/0,5))
     = 0,12 A · (1 − e^(−2))
     ≈ 0,12 A · 0,865
     ≈ 104 mA

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Endstrom

Sehr lange Zeit nach dem Einschalten:

Rechnung Endstrom

I_∞ = U / R
    = 12 V / 100 Ω
    = 120 mA

Strom nach 5τ = 2,5 ms ist praktisch 120 mA.

Beispiel 2 — Zeit bis zu einem Schwellwert

Wann erreicht der Strom 100 mA?

Rechnung Schwellzeit

t = −(L / R) · ln(1 − I · R / U)
  = −0,5 ms · ln(1 − 0,1 · 100 / 12)
  = −0,5 ms · ln(1 − 0,833)
  = −0,5 ms · ln(0,167)
  ≈ 0,9 ms

Beispiel 3 — Schutzdiode

Beim Abschalten bricht der Strom nicht schlagartig zusammen — die Spule erzeugt eine Induktionsspitze, die Halbleiter zerstören kann. Eine Freilaufdiode antiparallel zur Spule schließt den Strom kurz und baut ihn kontrolliert mit derselben Zeitkonstanten ab.