De Morgan 1
De Morgans erstes Gesetz: NOT(A AND B) = NOT(A) OR NOT(B). Beide Seiten liefern denselben Wahrheitswert.
De Morgan 1 berechnen
De Morgans erstes Gesetz: NOT(A AND B) = NOT(A) OR NOT(B). Beide Seiten liefern denselben Wahrheitswert.
Worum geht es?
De Morgans erste Regel beschreibt, wie sich die Negation einer UND-Verknüpfung umformen lässt: aus NOT(A AND B) wird NOT A OR NOT B. Aus einem negierten AND wird also ein OR mit negierten Eingängen.
Diese Identität ist ein Werkzeug der Schaltungssynthese: Du kannst NAND-basierte Logik systematisch in OR-Logik überführen — etwa um eine Schaltung allein aus NAND- oder allein aus NOR-Bausteinen aufzubauen.
Der Rechner liefert für ein Eingangspaar (A, B) den gemeinsamen Wahrheitswert beider Seiten — sie sind per Definition identisch.
Die Formel
NOT(A AND B) = NOT A OR NOT B
Algebraisch (Querstrich):
A · B = Ā + B̄Die Variablen
| Symbol | Bedeutung | Werte | Erklärung |
|---|---|---|---|
| A | Eingang A | 0 / 1 | Erster Eingang. |
| B | Eingang B | 0 / 1 | Zweiter Eingang. |
| Y | Ergebnis | 0 / 1 | Gemeinsamer Wahrheitswert beider äquivalenten Seiten. |
Wahrheitstabelle
| A | B | A AND B | NOT(A AND B) | NOT A OR NOT B |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
Die beiden rechten Spalten stimmen für jede Belegung überein — die Regel ist damit verifiziert.
Minimal-Beispiel
Eingang A = 1, Eingang B = 0.
Links: NOT(A AND B) = NOT(1 AND 0) = NOT 0 = 1
Rechts: NOT A OR NOT B = 0 OR 1 = 1
Ergebnis Y = 1Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Schaltung aus NOR-Gattern
Eine UND-Verknüpfung soll allein mit NOR-Gattern realisiert werden. Über De Morgan 1 lässt sich A AND B umformen:
A AND B = NOT(NOT A OR NOT B)
= NOR(NOT A, NOT B)
Realisierung:
NOT A = NOR(A, A)
NOT B = NOR(B, B)
A AND B = NOR(NOT A, NOT B)Beispiel 2 — Bedingungs-Umformung
Die Bedingung „nicht (eingeloggt UND berechtigt)" in einer Zugriffsprüfung lässt sich lesbarer ausdrücken.
Sperren = NOT(Eingeloggt AND Berechtigt)
= NOT Eingeloggt OR NOT Berechtigt
→ Sperren, wenn nicht eingeloggt ODER nicht berechtigt.Beispiel 3 — Drei Variablen
De Morgan lässt sich rekursiv auf mehr Variablen anwenden.
NOT(A AND B AND C)
= NOT((A AND B) AND C)
= NOT(A AND B) OR NOT C
= (NOT A OR NOT B) OR NOT C
= NOT A OR NOT B OR NOT C