/ Boolesche Algebra

Karnaugh-Veitch 3 Variablen

Maximale Gruppenanzahl in einer KV-Tafel: MaxGruppen = 2^n / 2. Für 3 Variablen ergeben sich höchstens 4 Gruppen.

01 · Eingabe

Karnaugh-Veitch 3 Variablen berechnen

Maximale Gruppenanzahl in einer KV-Tafel: MaxGruppen = 2^n / 2. Für 3 Variablen ergeben sich höchstens 4 Gruppen.

Lösen für

MaxGruppen = 2^n / 2

n Variablenanzahl

Worum geht es?

In einer Karnaugh-Veitch-Tafel werden benachbarte Minterme zu Gruppen der Größe 1, 2, 4, 8 … (Zweierpotenzen) zusammengefasst. Jede Verdopplung der Gruppe eliminiert eine Variable — größere Gruppen bedeuten also kürzere Terme.

Die maximale Anzahl der Gruppen in einer KV-Tafel ergibt sich aus der halbierten Gesamtzellenzahl, denn die kleinste sinnvolle Zusammenfassung umfasst zwei Zellen. Für n = 3 ergeben sich somit höchstens 4 Gruppen (8 Zellen / 2).

Die Formel

Formel KV-Gruppen

MaxGruppen = 2^n / 2

Umstellungen:
    n = log₂(MaxGruppen · 2)

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Erklärung
n	Variablenanzahl	Anzahl der Eingangsvariablen.
MaxGruppen	Max. Gruppen	Maximale Anzahl Zweier-Gruppen in der KV-Tafel.

Aufbau einer 3-Variablen-KV-Tafel

Die Tafel hat 2 × 4 Zellen. Die Spalten werden im Gray-Code beschriftet, damit benachbarte Zellen sich in genau einer Variablen unterscheiden.

	BC=00	BC=01	BC=11	BC=10
A = 0	m0	m1	m3	m2
A = 1	m4	m5	m7	m6

Wichtig: die linke und die rechte Spalte sind ebenfalls benachbart (zylindrische Topologie) — m0 und m2 lassen sich zu einer Zweier-Gruppe zusammenfassen.

Minimal-Beispiel

n = 3.

Rechnung MaxGruppen

MaxGruppen = 2^n / 2
           = 2^3 / 2
           = 8 / 2
           = 4

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Funktion mit vier Mintermen

Die Funktion ist 1 bei den Mintermen {m1, m3, m5, m7} — also immer, wenn C = 1.

Rechnung Minimierung

KV-Tafel:
          BC=00  BC=01  BC=11  BC=10
    A=0    0      1      1      0
    A=1    0      1      1      0

Gruppe: Spalten BC=01 und BC=11
        →  C = 1
Ergebnis: Y = C

Beispiel 2 — Randgruppe (Zylinder)

Die Funktion ist 1 bei {m0, m2, m4, m6} — die ganze Spaltenfläche links und rechts.

Rechnung Randgruppe

Linke Spalte (BC=00) und rechte Spalte (BC=10) sind benachbart.
Beide Zeilen (A=0, A=1) decken alle vier Zellen ab.
Eliminiert werden A und B → Ergebnis: Y = NOT C

Beispiel 3 — Rückrechnung der Variablenzahl

Eine KV-Tafel hat höchstens 8 Gruppen. Wie viele Variablen?

Rechnung Variablenzahl

n = log₂(MaxGruppen · 2)
  = log₂(8 · 2)
  = log₂(16)
  = 4