/ Boolesche Algebra

XOR (Exklusiv-ODER)

Logisches XOR: Y = A XOR B. Der Ausgang ist 1, wenn genau ein Eingang 1 ist — die Eingänge müssen sich unterscheiden.

XOR (Exklusiv-ODER)

01 · Eingabe

XOR (Exklusiv-ODER) berechnen

Logisches XOR: Y = A XOR B. Der Ausgang ist 1, wenn genau ein Eingang 1 ist — die Eingänge müssen sich unterscheiden.

Y = A XOR B

A Eingang A

B Eingang B

Worum geht es?

Das XOR-Gatter (Exklusiv-ODER, Antivalenz) liefert 1, wenn sich die beiden Eingänge unterscheiden — also genau einer von beiden 1 ist. Sind beide gleich, ist Y = 0.

XOR ist die Basis vieler Schaltungen: Halbaddierer, Volladdierer, Paritätsbits, CRC-Prüfsummen und Stromchiffren verwenden XOR als zentrale Operation.

Die Formel

Formel XOR-Gatter

Y = A XOR B

Algebraisch:
    Y = A · NOT B + NOT A · B

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Werte	Erklärung
A	Eingang A	0 / 1	Erster Eingang.
B	Eingang B	0 / 1	Zweiter Eingang.
Y	Ausgang	0 / 1	1, wenn die Eingänge sich unterscheiden.

Wahrheitstabelle

A	B	Y = A XOR B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Minimal-Beispiel

Eingang A = 1, Eingang B = 0.

Rechnung XOR

Y = A XOR B
  = 1 XOR 0
  = 1

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Halbaddierer

Ein Halbaddierer berechnet Summe und Übertrag zweier Bits. Die Summe ergibt sich aus XOR, der Übertrag aus AND.

Rechnung Halbaddierer

Summe   = A XOR B
Übertrag = A AND B

A = 1, B = 1
  Summe   = 0
  Übertrag = 1

Beispiel 2 — Paritätsbit

Ein gerades Paritätsbit ergibt sich aus der XOR-Verknüpfung aller Datenbits.

Rechnung Parität

Daten = 1 0 1 1 0 1 1
P = 1 XOR 0 XOR 1 XOR 1 XOR 0 XOR 1 XOR 1
  = 1

Beispiel 3 — One-Time-Pad

Ein Klartext wird bitweise mit einem Schlüssel XOR-verknüpft; dieselbe Operation mit demselben Schlüssel stellt den Klartext wieder her.

Rechnung XOR-Chiffre

Klartext     = 1011 0110
Schlüssel    = 0110 1001
Chiffre      = 1101 1111

Chiffre XOR Schlüssel
             = 1011 0110   →  Klartext zurück