Perspektivische Projektion
Projiziert einen 3D-Punkt entlang der Sichtachse auf die Bildebene einer Lochkamera: Xp = f · X / Z. Weiter entfernte Punkte erscheinen kleiner.
Perspektivische Projektion berechnen
Projiziert einen 3D-Punkt entlang der Sichtachse auf die Bildebene einer Lochkamera: Xp = f · X / Z. Weiter entfernte Punkte erscheinen kleiner.
- Xp — Projizierte X-Koordinate
- X — 3D X-Koordinate
- Z — Tiefe (Z)
- f — Brennweite
Worum geht es?
Die perspektivische Projektion beschreibt, wie das Lochkamera-Modell einen Punkt im 3D-Raum auf die 2D-Bildebene abbildet. Charakteristisch: Entferntere Objekte erscheinen kleiner — das verleiht gerenderten Szenen räumliche Tiefe.
Die Tiefenkoordinate Z steht im Nenner. Ist Z gleich der Brennweite f, behält der Punkt seine Originalgröße; wird Z größer, schrumpft er.
Die Formel
Xp = f · X / Z (analog: Yp = f · Y / Z)
Umstellungen:
X = Xp · Z / f
Z = f · X / Xp
f = Xp · Z / XDie Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| X | 3D X-Koordinate | — | X-Position im Weltkoordinatensystem. |
| Z | Tiefe | — | Abstand zum Kamera-Mittelpunkt. |
| f | Brennweite | — | Brennweite der virtuellen Kamera. |
| Xp | Projizierte X-Koordinate | — | X auf der Bildebene. |
Minimal-Beispiel
Punkt X = 2 in Tiefe Z = 5, Brennweite f = 50:
Xp = 50 · 2 / 5
= 100 / 5
= 20Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Objekt nähert sich
Bei f = 35, X = 1 verkleinert sich Xp, wenn Z wächst:
Z = 1: Xp = 35 · 1 / 1 = 35
Z = 5: Xp = 35 · 1 / 5 = 7
Z = 20: Xp = 35 · 1 / 20 = 1,75Beispiel 2 — Brennweite aus Projektion bestimmen
Ein Punkt bei X = 0,5 in Tiefe Z = 3 erscheint auf der Bildebene bei Xp = 0,25:
f = Xp · Z / X
= 0,25 · 3 / 0,5
= 1,5Beispiel 3 — Tiefe rückrechnen
Bei f = 50, X = 4 und gemessenem Xp = 10 ergibt sich die Tiefe:
Z = f · X / Xp
= 50 · 4 / 10
= 20