Rotation 2D (X -Komponente)
Rotiert die X-Komponente eines 2D-Punkts um den Ursprung um den Winkel θ (in Grad): NeuX = X · cos(θ) − Y · sin(θ). Für Y gilt NeuY = X · sin(θ) + Y · cos(θ).
Rotation 2D (X-Komponente) berechnen
Rotiert die X-Komponente eines 2D-Punkts um den Ursprung um den Winkel θ (in Grad): NeuX = X · cos(θ) − Y · sin(θ). Für Y gilt NeuY = X · sin(θ) + Y · cos(θ).
Worum geht es?
Die 2D-Rotation dreht einen Punkt um den Koordinatenursprung um den Winkel θ. Mathematisch entspricht das einer Multiplikation mit der Drehmatrix:
Pro Achse rechnest Du:
- NeuX = X · cos(θ) − Y · sin(θ)
- NeuY = X · sin(θ) + Y · cos(θ)
Der Winkel zählt entgegen dem Uhrzeigersinn. Soll um einen anderen Punkt rotiert werden, verschiebst Du zuerst, drehst dann und verschiebst zurück.
Die Formel
NeuX = X · cos(θ) − Y · sin(θ)
NeuY = X · sin(θ) + Y · cos(θ)
θ ist hier in Grad angegeben.Die Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| X | X-Koordinate | — | Ursprüngliche X-Position. |
| Y | Y-Koordinate | — | Ursprüngliche Y-Position. |
| theta | Rotationswinkel | ° | Winkel gegen den Uhrzeigersinn. |
| NeuX | Neue X-Koordinate | — | X nach der Drehung. |
Minimal-Beispiel
Punkt (X, Y) = (1, 0) wird um 90° gedreht:
NeuX = 1 · cos(90°) − 0 · sin(90°)
= 1 · 0 − 0 · 1
= 0
NeuY = 1 · sin(90°) + 0 · cos(90°)
= 1Der Punkt landet bei (0, 1) — exakt das erwartete Ergebnis.
Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Punkt um 45°
Punkt (10, 0) um 45° drehen:
NeuX = 10 · cos(45°) − 0 · sin(45°)
= 10 · 0,7071
≈ 7,071Beispiel 2 — Vektorlänge bleibt erhalten
Eine reine Drehung verändert die Länge nicht. Punkt (3, 4) hat Länge 5 — egal um welchen Winkel rotiert wird, das Ergebnis liegt auf einem Kreis mit Radius 5.
NeuX = 3 · cos(30°) − 4 · sin(30°)
= 3 · 0,8660 − 4 · 0,5
≈ 0,598Beispiel 3 — Negative Rotation
Ein negativer Winkel dreht im Uhrzeigersinn. Punkt (0, 1) um −90°:
NeuX = 0 · cos(−90°) − 1 · sin(−90°)
= 0 − 1 · (−1)
= 1