/ Datendarstellung & Speicher

Wertebereich signed (n Bit)

Vorzeichenbehaftete Ganzzahl im Zweierkomplement mit n Bit: Min = −2^(n − 1), Max = 2^(n − 1) − 1. Beispiel int8: −128 bis 127.

01 · Eingabe

Wertebereich signed (n Bit) berechnen

Vorzeichenbehaftete Ganzzahl im Zweierkomplement mit n Bit: Min = −2^(n − 1), Max = 2^(n − 1) − 1. Beispiel int8: −128 bis 127.

Lösen für

Min = −2^(n − 1)

n Bitanzahl

Bit

Max Maximum

Worum geht es?

Eine vorzeichenbehaftete Ganzzahl im Zweierkomplement mit n Bit ist asymmetrisch: Der Bereich reicht von −2^(n−1) bis 2^(n−1) − 1. Es gibt also einen negativen Wert mehr als positive (die Null zählt zum positiven Block).

Standardwerte:

int8: −128 bis 127
int16: −32.768 bis 32.767
int32: −2.147.483.648 bis 2.147.483.647
int64: −9,22 · 10¹⁸ bis 9,22 · 10¹⁸ − 1

Das Zweierkomplement ist heute praktisch universell, weil Addition und Subtraktion ohne Vorzeichen-Sonderfälle funktionieren — das höchste Bit codiert das Vorzeichen, alle anderen Bits ergeben den Wert.

Die Formel

Formel Wertebereich signed

Min = −2^(n − 1)
Max =  2^(n − 1) − 1

Umstellung:
    n = log₂(Max + 1) + 1

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
n	Bitanzahl	Bit	Anzahl der Bits.
Min	Minimum	—	Kleinster darstellbarer Wert.
Max	Maximum	—	Größter darstellbarer Wert.

Minimal-Beispiel

Wertebereich int8 (n = 8):

Rechnung int8

Min = −2^7 = −128
Max =  2^7 − 1 = 127

Bereich: −128 – 127

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — int32-Overflow

Klassische 32-Bit-Integer-Grenze (Year-2038-Problem für Unix-Time):

Rechnung int32

Max = 2^31 − 1
    = 2.147.483.647

Das ist Sekunden seit 1970 → 19.01.2038, 03:14:07 UTC

Beispiel 2 — Audio-Sample 16 Bit

Ein 16-Bit-PCM-Sample liegt zwischen:

Rechnung int16 Audio

Min = −2^15 = −32.768
Max =  2^15 − 1 = 32.767

Asymmetrie: |Min| > |Max| um 1

Beispiel 3 — Erforderliche Bitbreite

Welche signed-Bitbreite für Werte bis ±5000?

Rechnung bis ±5000

n = log₂(5000 + 1) + 1
  ≈ 12,29 + 1
  → mindestens 14 Bit
  (praxisnah: int16, 2 Byte)