Maschinenepsilon (32 Bit)
Kleinster Abstand zur nächsten darstellbaren Zahl oberhalb von 1: eps = 2^(−Mantissenbits). Für Float32 ergibt sich 2^(−23) ≈ 1,19·10⁻⁷.
Maschinenepsilon (32 Bit) berechnen
Kleinster Abstand zur nächsten darstellbaren Zahl oberhalb von 1: eps = 2^(−Mantissenbits). Für Float32 ergibt sich 2^(−23) ≈ 1,19·10⁻⁷.
- eps — Maschinenepsilon
- Mantissenbits — Mantissenbits
Worum geht es?
Das Maschinenepsilon beschreibt die kleinste positive Zahl eps, für die noch 1 + eps > 1 gilt. Anschaulich: der relative Abstand zur nächsten darstellbaren Gleitkommazahl in der Umgebung von 1. Für IEEE-754-Formate ergibt es sich direkt aus der Mantissenbreite:
Bei Float32 mit 23 Mantissenbits gilt eps = 2⁻²³ ≈ 1,19·10⁻⁷. Das ist die übliche Genauigkeitsgrenze für relative Fehler — alles darunter geht in der Rundung unter.
Die Formel
eps = 2^(−Mantissenbits)
Umstellung:
Mantissenbits = −log₂(eps)Die Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| Mantissenbits | Mantissenbits | Bit | Anzahl Mantissenbits (23 bei Float32). |
| eps | Maschinenepsilon | — | Kleinstes eps mit 1 + eps > 1 darstellbar. |
Minimal-Beispiel
Float32 hat 23 Mantissenbits.
eps = 2^(−23)
≈ 1,1920929 · 10⁻⁷Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Anzahl signifikanter Dezimalstellen
Aus eps lassen sich die typischen 7 Dezimalstellen ablesen:
−log₁₀(eps) = −log₁₀(2⁻²³)
= 23 · log₁₀(2)
≈ 6,92
→ ca. 7 signifikante DezimalstellenBeispiel 2 — Mantissenbreite aus eps zurückrechnen
Gegeben eps = 1,1921·10⁻⁷:
Mantissenbits = −log₂(1,1921 · 10⁻⁷)
≈ 23Beispiel 3 — Vergleichsschwelle in Algorithmen
Iterative Verfahren brechen oft ab, wenn |Δx| < eps · |x|. Bei Float32 sollte die Schwelle nicht unter 2⁻²³ gewählt werden — kleinere Werte sind durch Rundungsfehler nicht mehr unterscheidbar.
Schwelle ≈ 10 · eps
≈ 10 · 2⁻²³
≈ 1,19 · 10⁻⁶